지수의 나눗셈 법칙 없이 0제곱을 증명하기

문제 정의

밑이 양수일 때, 지수의 나눗셈 법칙

x^{n-m}=\frac{x^n}{x^m}

을 전제하지 않고

x^0=1

임을 단계적으로 증명한다.

일반적으로는

\frac{x^n}{x^n}=1

이고 동시에

\frac{x^n}{x^n}=x^{n-n}=x^0

이므로

x^0=1

이라고 설명할 수 있다.

그러나 이 방법은 처음부터 지수의 나눗셈 법칙을 사용한다.

여기서는 그 법칙을 사용하지 않는다.

먼저 차원에 따른 다포체의 닮음 변환을 관찰한다. 그 과정에서 0차원으로 내려가면 스케일 계수가 1이 되는 현상을 발견한다.

그다음 이를 선형변환과 행렬식으로 옮겨 보면, 0차원에서 나타난 1이 사실 곱할 대상이 하나도 없는 빈 곱과 연결된다는 것을 알 수 있다.

이 구조를 2번 풀이에서 순수하게 대수적으로 다시 확인한다.

마지막 3번 풀이에서는 반복 곱셈에 의한 거듭제곱의 정의 자체에서도 벗어나, 자연지수함수를 무한급수로 정의하여 같은 결과를 다시 얻는다.

전체 전개는 다음 방향으로 진행된다.

각 단계는 왼쪽에서 오른쪽으로 이어진다.

1번 풀이: 다포체의 닮음 변환과 0차원 측도

차원을 하나씩 낮추어 보기

한 도형을 모든 방향으로 같은 비율만큼 확대한다고 생각해 보자.

3차원에서는 서로 독립적인 세 방향의 길이가 변한다.

2차원에서는 두 방향, 1차원에서는 한 방향만 변한다.

0차원까지 내려가면 공간적인 길이 방향 자체가 사라지고 하나의 점만 남는다.

3차원에서 각 방향의 길이를 x배 확대하면 세 방향의 확대율이 곱해진다.

따라서 부피의 변화율은

x^3

이다.

2차원에서는 두 방향의 확대율이 곱해지므로

x^2

이고, 1차원에서는 하나의 길이만 변하므로

x

이다.

따라서 차원을 하나씩 낮추면 다음 계열이 나타난다.

x^3,\quad x^2,\quad x

0차원에서는 더 이상 확대할 공간적 길이가 존재하지 않는다.

남는 것은 하나의 점이다.

지수함수의 시각적 연장

서로 다른 두 밑을 가진 지수함수를 생각해 보자.

양의 정수 지수에서는

2^1=2

2^2=4

이고,

3^1=3

3^2=9

이다.

이 값을 실수 지수까지 연속적으로 확장한 모습을 그림으로 나타내면 두 함수는 지수 0에서 하나의 공통점을 가진다.

그림에서는 서로 다른 밑을 가진 두 지수함수가

(0,1)

에서 만난다.

그러나 이 그래프 자체는 아직 증명이 아니다.

그래프를 그리기 위해서는 이미 양의 정수 지수를 실수 지수까지 어떠한 방식으로 확장해야 하기 때문이다.

따라서 이 그림은 앞으로 얻을 결과를 시각적으로 보여 주는 역할만 한다.

d차원 다포체의 닮음 변환

d차원 유클리드 공간의 다포체 P를 생각하자.

원점을 기준으로 모든 방향에 대하여 양의 실수 x배 확대하는 변환을 가한 도형을 xP라고 한다.

d차원에서 도형의 크기를 나타내는 측도를

\mathcal V_d

라고 하자.

일반적인 닮음 변환의 스케일 관계는

\mathcal V_d(xP)=x^d\mathcal V_d(P)

의 형태를 가진다.

3차원에서는

\mathcal V_3(xP)=x^3\mathcal V_3(P)

이고, 2차원에서는

\mathcal V_2(xP)=x^2\mathcal V_2(P)

이다.

1차원에서는

\mathcal V_1(xP)=x\mathcal V_1(P)

이다.

0차원 측도

0차원 공간에는 길이, 넓이, 부피와 같은 공간적 연장성이 존재하지 않는다.

0차원 공간의 기본적인 다포체를 하나의 점으로 두자.

P_0

0차원 측도는 점의 개수를 세는 방식으로 생각할 수 있다.

따라서 단일 점의 측도는

\mathcal V_0(P_0)=1

이다.

점은 길이나 부피를 가지지 않는다.

따라서 양의 실수 x배 확대하더라도 점 하나는 여전히 점 하나이다.

xP_0=P_0

그러므로

\mathcal V_0(xP_0)=\mathcal V_0(P_0)=1

이다.

이를 차원별 스케일 관계와 비교하면 0차원에 대응하는 스케일 계수는 1이어야 한다는 사실을 알 수 있다.

그러나 여기서 바로 0제곱을 얻어도 되는가?

문제는 일반식

\mathcal V_d(xP)=x^d\mathcal V_d(P)

자체가 이미 거듭제곱 표기를 사용한다는 점이다.

이 식에 그대로 0을 넣어

\mathcal V_0(xP_0)=x^0\mathcal V_0(P_0)

라고 쓴 뒤

x^0=1

을 결론으로 내리면, 우리가 설명하려는 대상을 이미 일반식 안에서 사용한 셈이 된다.

따라서 여기서 한 단계 더 내려가야 한다.

다포체의 확대를 단순히 거듭제곱 공식으로 쓰지 말고, 실제 선형변환으로 표현해 보자.

다포체의 확대를 선형변환으로 다시 쓰기

d차원에서 모든 방향을 x배 확대하는 선형변환은

T_x=xI_d

로 표현할 수 있다.

여기서

I_d

는 d차원 항등행렬이다.

3차원에서 T_x의 성분은 다음과 같이 놓인다.

이 변환의 부피 확대율은 행렬식이다.

\det(T_x)=x\cdot x\cdot x

즉,

\det(T_x)=x^3

이다.

2차원에서는 다음과 같다.

따라서

\det(T_x)=x\cdot x=x^2

이다.

1차원에서는 성분이 하나뿐이다.

따라서

\det(T_x)=x

이다.

중요한 것은 여기서 거듭제곱을 먼저 생각할 필요가 없다는 점이다.

차원이 d라면 확대율은 대각선에 있는 x를 d개 곱한 값이다.

\det(xI_d)=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{d\text{개}}

이제 차원을 0으로 내려 보자.

0차원 선형변환

0차원 벡터공간에는 좌표축이 하나도 없다.

따라서 0차원 항등변환에 대응하는 행렬은 행과 열이 하나도 없는

0\times0

행렬이다.

이 행렬의 대각선에는 곱할 성분이 하나도 없다.

3차원에서는 세 개를 곱했다.

x\cdot x\cdot x

2차원에서는 두 개를 곱했다.

x\cdot x

1차원에서는 하나를 곱했다.

x

0차원에서는 곱할 x가 하나도 없다.

차원에 따라 대각선에서 곱해지는 성분을 한 표에 놓으면 다음과 같다.

즉 0차원 행렬식에서 나타나는 것은 0개의 인수를 곱한 값이다.

이때 행렬식의 값은

\det(I_0)=1

로 놓인다.

바로 여기에서 1번 풀이와 2번 풀이가 연결된다.

0차원 다포체의 크기가 1로 남는 현상은 선형대수에서는 0차원 행렬식이 1인 현상으로 나타나고, 그 행렬식을 구성하는 곱셈 구조를 더 자세히 보면 빈 곱이 나타난다.

따라서 문제는 다음 질문으로 바뀐다.

왜 0개의 수를 곱한 결과는 1이어야 하는가?

이제 기하학과 선형대수를 떠나 곱셈 자체의 구조를 살펴보자.

2번 풀이: 곱셈의 항등원과 빈 곱

거듭제곱을 반복 곱셈으로 다시 보기

양의 정수 n에 대하여 거듭제곱을 반복 곱셈으로 정의한다.

x^n=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{개}}

곱셈의 항등원 1을 명시적으로 붙이면

x^n=1\cdot\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{개}}

로 쓸 수 있다.

따라서

x^3=1\cdot x\cdot x\cdot x

이고,

x^2=1\cdot x\cdot x

이며,

x^1=1\cdot x

이다.

지수를 하나씩 낮추면 곱해지는 x도 하나씩 사라진다.

지수가 0이 되면 추가로 곱해지는 x가 하나도 존재하지 않는다.

따라서 곱셈의 기준점인 항등원 1만 남는다.

빈 곱

0개의 인수를 곱하는 연산을 빈 곱이라고 한다.

이를

\prod_{\varnothing}

라고 쓰자.

그렇다면 이 값은 무엇이어야 하는가?

빈 곱의 값을 c라고 하자.

그 뒤에 x 하나를 추가하면 전체 곱은 그냥 x 하나가 되어야 한다.

따라서

cx=x

이어야 한다.

문제에서

x>0

이므로

x\neq0

이다.

따라서

c=1

이다.

그러므로 빈 곱은

\prod_{\varnothing}=1

이어야 한다.

따라서 x를 0개 곱하는 거듭제곱은

x^0=\prod_{k=1}^{0}x

이고,

x^0=1

이다.

0차원 행렬식이

1

이었던 이유도 바로 이것이다.

행렬식의 대각선 방향으로 곱할 성분이 하나도 없을 때 남는 값이 곱셈의 항등원 1이기 때문이다.

빈 합과 빈 곱

같은 구조는 덧셈에서도 나타난다.

덧셈에서 아무 수도 더하지 않았을 때의 값은 덧셈의 항등원인 0이다.

\sum_{\varnothing}=0

곱셈에서 아무 수도 곱하지 않았을 때의 값은 곱셈의 항등원인 1이다.

\prod_{\varnothing}=1

따라서

0

과

1

은 각각 덧셈과 곱셈에서 연산이 아직 한 번도 수행되지 않았을 때의 기준 상태라고 볼 수 있다.

지수의 곱셈 법칙에서도 같은 값이 강제된다

양의 정수 지수에서는 반복 곱셈만으로

x^{m+n}=x^mx^n

을 얻을 수 있다.

여기에는 지수의 나눗셈 법칙이 필요하지 않다.

이제 이 구조를 지수 0까지 확장해 보자.

아직 0제곱의 값을 모른다고 하고

x^0=c

라고 놓는다.

그러면

x^{1+0}=x^1x^0

이어야 한다.

왼쪽은

x^{1+0}=x

이고, 오른쪽은

x^1x^0=xc

이다.

따라서

x=xc

이고,

x>0

이므로

c=1

이다.

결국 가능한 값은 하나뿐이다.

\boxed{x^0=1}

여기까지는 지수의 나눗셈 법칙을 전혀 사용하지 않았다.

2번 풀이에서 얻은 것

이제 1번 풀이에서 나타난 현상도 설명할 수 있다.

0차원 다포체는 확대하여도 점 하나이므로 측도가 1이다.

0차원 선형변환의 행렬식 역시 1이다.

그리고 그 행렬식이 1인 이유는 곱할 대각성분이 하나도 없을 때 빈 곱이 나타나며, 빈 곱의 값이 곱셈의 항등원인 1이기 때문이다.

즉, 다음과 같은 하나의 구조가 생긴다.

각 항은 왼쪽에서 오른쪽으로 이어진다.

따라서 2번 풀이는 단순히 1번 풀이와 별개인 새로운 증명이 아니다.

1번의 기하학적 현상을 더 깊이 파고들었을 때 나타나는 대수적 구조라고 볼 수 있다.

그러나 반복 곱셈 자체에서도 벗어날 수 있는가?

2번 풀이는 대수적으로 충분히 타당하다.

하지만 한 단계 더 질문할 수 있다.

거듭제곱을

\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{개}}

라는 반복 곱셈에서 출발하지 않고도 같은 값을 얻을 수 있을까?

이번에는 거듭제곱의 반복 곱셈 정의 자체를 내려놓는다.

자연지수함수를 별개의 해석학적 대상으로 정의하고 그곳에서 0에 대응하는 값을 직접 계산해 보자.

3번 풀이: 지수함수의 무한급수 정의

0제곱을 포함하지 않는 자연지수함수의 정의

자연지수함수는 흔히 다음과 같이 표현된다.

\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}

하지만 지금 문제에서는 이 표현을 그대로 사용하지 않는다.

첫 번째 항에 이미

z^0

이 들어 있기 때문이다.

우리가 확인하려는 값을 정의 안에 미리 넣지 않기 위해 상수항 1을 분리한다.

자연지수함수를 다음과 같이 정의하자.

\exp(z):=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}

즉,

\exp(z)=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots

이다.

이 정의에는 0제곱이 등장하지 않는다.

지수함수의 급수 항 소멸 과정

이제 입력값을 0으로 놓는다.

급수 정의에 0을 넣으면

\exp(0)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0^n}{n!}

이다.

여기에서 모든 지수는 양의 정수이다.

n\ge1

따라서 모든 항에 대하여

0^n=0

이다.

그러므로

\exp(0)=1+\left(\frac{0}{1!}+\frac{0^2}{2!}+\frac{0^3}{3!}+\cdots\right)

이다.

상수항을 제외한 모든 항이 사라진다.

따라서

\boxed{\exp(0)=1}

이다.

이 과정에서는 0제곱을 사용하지 않았다.

자연로그의 정의

양의 실수 x에 대하여 자연로그를 다음과 같이 정의한다.

\ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}

문제에서

x>0

이므로 자연로그는 실수 범위에서 정의된다.

이제 양의 밑 x와 실수 지수 y에 대한 거듭제곱을 반복 곱셈이 아니라 다음과 같이 정의한다.

x^y:=\exp(y\ln x)

지수에 0을 넣으면

x^0=\exp(0\cdot\ln x)

이다.

실수의 곱셈에서

0\cdot\ln x=0

이므로

x^0=\exp(0)

이다.

앞에서 무한급수를 이용하여

\exp(0)=1

을 구했으므로

\boxed{x^0=1}

을 얻는다.

세 풀이가 어떻게 전진했는가

첫 번째 단계에서는 다포체의 차원을 낮추었다.

3차원, 2차원, 1차원에서 확대율은 각각 세 개, 두 개, 한 개의 스케일 인수를 곱하여 얻어진다.

0차원에서는 공간적 방향이 하나도 없으므로 곱할 스케일 인수 역시 하나도 없다.

이 현상을 선형대수로 옮기면 0차원 항등변환의 행렬식

\det(I_0)=1

이 나타난다.

그리고 왜 그 값이 1인지 조사하면서 빈 곱에 도달한다.

두 번째 단계에서는 이 빈 곱을 순수한 곱셈 구조에서 분석하였다.

\prod_{\varnothing}=1

은 곱셈의 항등원을 보존하기 위해 강제된다.

따라서 0개의 x를 곱한 값 역시

x^0=1

이다.

양의 정수에서 성립하는

x^{m+n}=x^mx^n

을 지수 0까지 확장해도 같은 값이 유일하게 강제된다.

마지막 세 번째 단계에서는 반복 곱셈이라는 정의에서도 벗어났다.

자연지수함수를

\exp(z)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}

로 정의하면 0제곱을 사용하지 않고

\exp(0)=1

을 얻을 수 있다.

그리고

x^y=\exp(y\ln x)

를 통해 실수 거듭제곱을 정의하면 다시

x^0=1

을 얻는다.

최종 결론

지수의 나눗셈 법칙

x^{n-m}=\frac{x^n}{x^m}

을 사용하지 않아도

x^0=1

을 도출할 수 있다.

기하학에서는 0차원 점이 확대에 대해 불변이라는 사실이 나타난다.

선형대수에서는 그 현상이 0차원 행렬식

\det(I_0)=1

로 나타난다.

대수에서는 그 행렬식의 1이 빈 곱

\prod_{\varnothing}=1

에서 나온다는 것을 알 수 있다.

해석학에서는 반복 곱셈을 사용하지 않는 지수함수의 급수 정의로부터

\exp(0)=1

을 독립적으로 다시 얻는다.

따라서 전체 구조는 다음과 같이 연결된다.

읽는 순서는 첫째 줄의 왼쪽에서 오른쪽으로 진행한 뒤, 둘째 줄의 왼쪽에서 오른쪽으로 이어진다.

서로 다른 분야의 관점이 최종적으로 동일한 값으로 수렴한다.

\boxed{x^0=1}