구수략 갑 편: 수의 기원~사칙 연산의 기본 성질까지
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gg582 · 2026-07-26 15:20:45 · 56 views
목차
- ## 數原苐一 수의 기원: 제 1장
- 數名苐二 수의 이름: 제 2장
- 해설
- 3의 제곱
- 10의 자리
- 차원
- 평방 차원의 단위
- 數位苐三 수의 자릿수와 표기법: 제 3장
- 해설
- 대수 삼등법(하수·중수·상수) 비교 표
- 의미
- 數象苐四 수의 상에 대하여: 제 4장
- 해설
- 數器苐五 수의 도구에 대하여: 제 5장
- 數法苐六 수의 운용법에 대하여: 제 6장
- 해설
- 총론 사법 (總論四法)
- 가법과 감법 (加法減法)
- 乘法 除法: 곱셈법과 나눗셈법
- 해설
- 1. 덧셈과 뺄셈
- 2. 곱셈과 나눗셈
- 3. 두 연산쌍의 구조
- 4. 一格算과 多格算
- 5. 無法之乘除와 有法之加減
- 6. 한 자리 덧셈표
- 7. 10을 만드는 덧셈쌍
- 8. 자릿올림
- 9. 한 자리 뺄셈표
- 10. 덧셈표와 뺄셈표의 대응
- 11. 계산 절차의 전체 구성
- 0. 무한소수 문제
- 1. 곱셈에서 세 수의 역할
- 2. 나눗셈에서 세 수의 역할
- 3. 곱셈식에서 미지수 구하기
- 4. 하나의 곱셈식에서 얻는 두 나눗셈식
- 5. 연산에 따른 명칭의 전환
- 6. 元數亦稱實數
- 7. 곱셈과 나눗셈의 상호 변환
- 구구단표
## 數原苐一 수의 기원: 제 1장
數生於道原者數之本也所以本始而生數者也 物必有本故數原為首
수는 도(道)에서 생겨난다. 원(原)이란 수의 근본으로서, 시작이 되어 수를 낳는 것이다. 사물에는 반드시 근본이 있으므로, 수의 근원을 첫머리에 둔다.
이것은 구수략 정 편의 하낙변수에 나오는 해석 편과 함께 보면 좋다. 이어지는 해설에는 하도와 낙서가 등장하며, 도상은 전통적인 하도 도상과 낙서 마방진을 바탕으로 한다.
7
|
2
|
5
|
8 - 3 - 5 - 4 - 9
|
5
|
1
|
6
이것을 등식으로 바꿔 보자.
5 + 2 = 7 (상단) ∴ 7 - 2 = 5
5 + 3 = 8 (좌측) ∴ 8 - 3 = 5
5 + 4 = 9 (우측) ∴ 9 - 4 = 5 5 + 1 = 6 (하단) ∴ 6 - 1 = 5
5가 3번, 그리고 5를 제외한 나머지는 모두 1부터 9까지가 단 한 번씩 쓰인다. 그리고 이것은 1부터 9까지의 수와 중심수 5의 대응을 통해 십진 수 체계를 설명하는 기초 도상으로 볼 수 있다.
구수략 정 편에는 이것의 풀이가 나오는데, 최석정의 해석은 꽤 참신하다.
먼저 삼각형 모양의 한 변이 10칸인 격자를 만든다.
이렇게 한 후, 1부터 10까지의 수를 모두 1의 덧셈으로 분리한다.
1 = 1 (홀수)
1 + 1 = 2 (짝수)
1 + 1 + 1 = 3 (홀수)
1 + 1 + 1 + 1 = 4 (짝수)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 (홀수)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 (짝수)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7 (홀수)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 (짝수)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9 (홀수)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 (짝수)
원문에서는 홀수를 천수, 짝수를 지수라고 한다.
아래와 같은 주석이 달려 있다.
天數一三五七九 천수는 {1, 3, 5, 7, 9}이다. 地數二四六八十 지수는 {2, 4, 6, 8, 10}이다.
積五十五 위 모든 수들의 합은 55가 된다.
法曰併上下數共一十一 위와 아래를 나란히 두면 11이다.
以位數十乘之得一百一十半之得五十五是天地之數
이로써 양 끝 수의 합 11에 수의 개수 10을 곱하고, 이를 반으로 나누면 55를 얻는다. 이것을 파이썬 코드로 옮기면 아래와 같다.
first = 1
last = 10
count = 10
total = (first + last) * count // 2
assert total == 55
print(total)
與即四象變數中遍承之法 이것은 사상변수의 편승하는 법과 같다.
十一
九二
八三
七四
六五
化裁五格各得一十一數
화재(化裁)하여 다섯 격이 각각 11수를 얻는다.
10 1 9 2 8 3 7 4 6 5
10 + 1 = 11
9 + 2 = 11
8 + 3 = 11
7 + 4 = 11
6 + 5 = 11
이 부분은 해석이 필요하다. 구수략에서 사칙연산은 가감승제(加減承除)로 표기되고, 총합은 적(積), 부분합은 각득(各得)으로 표기되는 규칙이 있다. 그런데, 이곳에는 화재(化裁)한다고 말하고 수의 나열만을 하였다. 이것은 다양한 해석이 가능하다. 한 가지 해석은, 처음으로 십진법에서 1자리 늘어나는 10과, 십진법에서 가장 작은 자연수 1을 더한 수 11을 표기할 때, 그 근본은 10의 자리에 한 개가 존재하며, 1의 자리가 한 개 존재하기 때문에 자리가 나란히 두어진다는 관점이 있을 수 있다. 이 관점으로는 이와 같이 4와 7이 더해져도, 10이 완성되어 하도의 수를 이루고, 1이 남아 11이 되어 자리를 나누어 갖는다는 접근법도 가능성을 배제할 수 없다. 두 번째 해석은, 철학적 상징으로 하늘과 땅이 만난다는 문학적인 해석이다. 세 번째 해석은, 사실 별다른 의미가 없는 인용문이라는 것이다. 첫 번째 해석은 구수략의 전후 맥락으로 읽으면 자연스러우나 근거가 빈약하다. 둘째 해석은 가장 전통적이나, 이것은 산학서이지 철학서가 아니다. 셋째 해석은 목판 인쇄 비용이 비싼 당대의 출판업을 고려하면 가능성이 낮다. 저자의 뜻은 확정 불가능하며, 이미 세상을 뜬 옛 학자의 사고를 복원하려 하는 것은 자칫 정확하지 않다. 개인적으로는 첫 번째임을 강하게 피력하나, 원문과 뒤 맥락을 보고 판단 바란다.
뒤의 계산을 보면, 여기서 併은 양 끝의 수를 서로 짝지어 합한다는 뜻일 가능성이 가장 높다.
이 문장이 있으며, 이후 낙서 3x3 마방진이 등장한다.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
(가로) 4 + 9 + 2 = 15
3 + 5 + 7 = 15
8 + 1 + 6 = 15
(세로) 4 + 3 + 8 = 15
9 + 5 + 1 = 15
2 + 7 + 6 = 15
(대각선)
4 + 6 + 5 = 15
2 + 5 + 8 = 15
(10 - 2) = 8
(10 - 8) = 2
(10 - 6) = 4
(10 - 4) = 6
8과 2, 4와 6은 보수 관계이며, 3x3 평면 상의 대척점에 위치해 있다.
10의 보수쌍 2개가 있으니, 당연히 네 모서리의 합은 20이다.
4 + 8 + 2 + 6 = 20 (네 모서리)
易大傳曰天一地二天三地四天五地六天七天八天九地十 주역에서 말하기를, 천수는 1, 지수는 2, 천수는 3, 지수는 4, 천수는 5, 지수는 6, 천수는 7, 지수는 8, 천수는 9, 지수는 10이라고 하였다.
此即河圖之數也 이것은 곧 하도의 수이다.
S1 = {1,3,5,7,9}
S2 = {2,4,6,8,10}
尙書洪範傳曰初一次二次三次四次五次六次七次八次九 상서홍범에서 말하기를 초일(첫 하나)가 있고 다음 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱, 여덟, 그리고 아홉이 있다고 하였다.
S₀ = 1
Sₙ = Sₙ₋₁ + 1 (1 ≤ n ≤ 8)
∴ S = {S₀, S₁, ..., S₈} = {1, 2, ..., 9}
此即洛書之數也 이것은 낙서의 수이다.
河圖為體故始於一而終於十 하도는 체(體)가 되므로 1로 시작해서, 10으로 끝난다.
S₀ = 1
Sₙ = Sₙ₋₁ + 1 (1 ≤ n ≤ 9)
∴ S = {S₀, S₁, ..., S₉} = {1, 2, ..., 10}
洛書為用故去其十 낙서는 용(用)이 되므로 10을 버리어
止於九數之大原出於次郃 아홉에서 그친다. 수의 큰 근원은 차례로 합하는 데서 나온다.
이 구절은 여러 해석이 가능하다. 단순한 수비학이나 주술적인 의미로 읽을 수도 있으나, 필자의 해석을 첨부한다.
십진법에서 1부터 9까지는 자리를 올리지 않는 수이나, 10부터는 그 자리를 올린다. 따라서 근본적으로 1+9를 표현하기 위해서는 한 자리를 늘려 10으로 쓰게 된다. 10의 고자는 매듭을 묶은 것, 혹은 씨줄과 날줄의 엮음으로 표기되는 경우가 있다. 정확한 발생 연원은 알기 힘드나, 산가지로 계산을 할 때 1은 가로선, 10은 세로선으로 표기한다. 이 관습이 고자와 연원이 있는지 알기 어려우나, 이것이 현재에 와서 1과 1을 겹친 十자의 자형으로 표기되는 것이 우연의 일치라고 단정할만은 없다. 낙서와 하도의 법은 열에서 하나를 버리면 아홉이요, 아홉에 하나가 더해지면 열이 되는 짝의 이치다.
子曰大衍之數其算法之原乎
공자께서 이르시기를 대연의 수는 그 근본이로구나! 하시었다. 공자께선 기원전 551년 태어나신 '철학자'이고, 대연술은 손자산경에 처음으로 나온다. 손자산경은 기원후 3세기에서 5세기에 집필되었으며, 공자가 대연술을 알고 있었던 것이 아닌 공자의 대연에서 영감을 받거나, 그것에 비유한 것이 대연술(중국인의 나머지 정리)일 가능성이 크다. 저자의 활동 시기인 17-18세기에는 소실되지 않은 더 많은 철학서와 산서가 있었으며, 춘추시대의 모든 고문이 현전하는 것이 아니기 때문에 최석정이 어떤 자료와 어떤 경서 판본으로 교차 검증하였는지는 알기 어렵다. 새로운 목간이 발굴되면 공자가 대연을 언급한 것이 수론인지 아닌지 판정은 뒤집힐 수 있다. 이것은 한학을 하는 철학자들이나, 현전하는 서원의 유교철학자들이 판단하고 연구할 영역이다. 단지 전산을 하는 사람으로는 당시 최고 지식인인 영의정의 의도를 감히 판단하여 고문 논쟁을 할 만큼의 통찰은 없다.
이 구절의 대연의 이름을 딴 대연술은 동서고금에 이름이 알려진 방법이며, 그 실체는 이러한 것이다.
x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (i = 1, 2, ..., n, 단 mᵢ들은 쌍마다 서로소)
이 조건이 있을 때, M = m₁ × m₂ × ... × mₙ 에 대한 최소 비음수 잉여 해 x를 구하는 방식이다.
즉, M = ∏ᵢ₌₁ⁿ mᵢ = m₁ × m₂ × ... × mₙ을 계산한다.
이 전체 곱 M을 각 모듈로 mᵢ로 나눈 값을 구한다.
Mᵢ = M / mᵢ
zᵢ ≡ Mᵢ⁻¹ (mod mᵢ)
이때 Mᵢ를 동양 산학에서는 연기수(連基數)라고 한다.
대연구일술(大衍求一術)을 적용한다.
이후 해를 합성하여, x ≡ r₁M₁z₁ + r₂M₂z₂ + ... + rₙMₙzₙ (mod M)한다.
이것까지 끝낸 것이 대연술이며, 현대어로는 중국인의 나머지 정리이다.
def crt(r_list, m_list):
M = 1
for m in m_list:
M *= m
M_list = [M // m for m in m_list]
z_list = [pow(M_i, -1, m) for M_i, m in zip(M_list, m_list)]
X = sum(r * M_i * z for r, M_i, z in zip(r_list, M_list, z_list))
return X % M
crt([2,3,2],[3,5,7]) 하면 23이 나오는 것이 이치이다. 子曰易有太極是生兩儀兩生象又曰蔘天兩地而倚數按太極者一也 一生二也二生三參兩而數立矣
공자께서 이르시길, 주역에는 태극이 있는데, 태극은 양의(兩儀)를 낳고 양의는 사상을 낳는다고 한다. 또 이르시길 3은 하늘, 2는 땅이니 둘을 참작하고 의탁하여 수를 세운다 하였다. 살펴 보건데 태극이란 1이다. 1은 2를 낳는다. 2는 3을 낳는다. 3과 2는 수를 세우는구나.
이것의 해석은 모호하나, 조금 더 쉽게 풀어내는 해석도 가능하다.
아래와 같이 풀이를 첨언하고자 한다.
이 때 천수는 홀수와 동의어, 지수는 짝수와 동의어이다. 3은 홀수 중 가장 작은 소수, 2는 짝수 중 유일하며 가장 작은 소수이다.
그러나 실제로 원문에서는 "2와 3의 기댐"을 말한다. 이제 2와 3의 정수 계수 선형결합으로 모든 정수를 표현할 수 있는지 살펴보자.
1 = 3 − 2
2 = 2
3 = 3
n이 짝수이면 어떤 정수 q에 대하여 n = 2q이다. n이 홀수이면 어떤 정수 q에 대하여 n = 2q + 3이다.
따라서 gcd(2, 3) = 1이므로 모든 정수는 2와 3의 정수 계수 선형결합으로 표현된다.
2ℤ + 3ℤ = ℤ
이것은 「參天兩地而倚數」의 확정적 번역이 아니라, 해당 문구로부터 구성한 현대 정수론적 확장 해석이다.
邵子曰太一者數之始也 소자(소옹)께서 말씀하시길 태일(太一)은 수의 시작이라 하시었다.
여기서 태일은 하나 또는 수의 최초 원리를 가리키는 상수학적 개념으로 볼 수 있다. 다만 태일은 최초의 원리이고 태극은 양의(兩儀)를 낳으니 태일과 태극이 같다고 함부로 말할 수 없다.
太極者道之極也其此之謂乎 태극이란 도의 지극한 것이니, 아마 이것을 말한 것인가.
이 구절은 전통 상수학에서 수의 시작을 하나로 설정하는 관점을 보여준다. 다만 이것만으로 당시 산학에 영(零)이나 빈 자리의 개념이 없었다고 볼 수는 없다. 수의 발생 순서에서 1을 첫머리에 둔 것과, 계산에서 영값을 다루는 문제는 구분해야 한다.
數名苐二 수의 이름: 제 2장
名者數之紀也所以稽實而辨數者也 이름이란 수의 벼리이니, 실제 수량을 헤아리고 수를 구별하는 수단이다.
有物有期有名矣故數名次之十而止 사물에는 일정한 한계가 있으므로 이름이 있고, 수의 이름은 십을 단위로 차례를 나눈다.
故數名次之數一十百千萬也 그러므로 차례를 이루는 수의 이름은 일·십·백·천·만이다.
所以算事物順性命之理也 이는 사물의 수량을 계산하고 성명(性命)의 이치에 따르기 위한 것이다.
傳曰先其算命本起於黃鍾之數 전하여 말하기를 "먼저 그 수와 명을 계산한다"고 하였다. 그 근본은 황종의 수에서 시작한다.
一而三之三三積之歷十二辰之數 十有七萬七千一百四十七 1에서 시작하여 이를 세 배로 하고, 계속해서 3을 거듭 곱하여 열두 진에 해당하는 수까지 이르면 177,147이 된다.
紀於一協於十長於百大於千衍於萬而五數備矣 일에서 벼리를 세우고, 십에서 조화를 이루며, 백에서 자라고, 천에서 커지며, 만에서 펼쳐지니, 이로써 다섯 수가 모두 갖추어진다.
夫推歷生律制器 規圜矩方 權重衡平 準繩嘉量 探賾索隱 鉤深致遠 莫不用焉 무릇 역법을 추산하고 율을 산출하며 기물을 제작할 때, 그림쇠(컴퍼스)로 원을 그리고 구로 방형을 잡으며, 저울추로 무게를 정하고 저울대로 평형을 맞추며, 수준기와 먹줄을 사용하고 아름답게 정비된 표준 용량기를 정한다. 심오한 이치를 탐구하고 숨은 것을 찾아내며, 깊은 것을 끌어내어 먼 데까지 이르게 하는 데 산술을 쓰지 않는 일이 없다.
度長短者不失毫釐 量多少者不失圭撮 權輕重者不失黍累 길고 짧음을 재면 호와 리만큼도 어긋나지 않고, 많고 적음을 재면 규와 촬만큼도 어긋나지 않으며, 가볍고 무거움을 달면 서와 누만큼도 어긋나지 않는다.
度起於忽蠺吐之絲 忽為毫 十忽為絲 十絲為毫 十毫為釐 十釐為分 十分為寸 十寸為尺 十尺為丈 十丈為引 五尺為步 或六尺 길이의 단위는 홀(忽)에서 시작한다. 누에가 토해 낸 실 한 가닥을 홀이라 하고, 홀을 10개 모아 사(絲)로 삼고 사를 10개 모아 호(毫)로 삼는다. 10호는 1리(釐), 10리는 1분(分), 10분은 1촌(寸), 10촌은 1척(尺), 10척은 1장(丈), 10장은 1인(引)이 된다. 5척을 1보(步)로 삼는데, 경우에 따라 6척을 1보로 삼기도 한다.
八尺曰尋 倍尋曰常端法五丈或四丈 匹法三丈二或二丈四東俗匹法四丈或三丈五 中國畒法
여덟 척을 심(尋)이라 하고, 심의 두 배를 상(常)이라 한다. 단(端)을 재는 법은 5장 또는 4장으로 하고, 필(匹)을 재는 법은 3장 2척 또는 2장 4척으로 한다. 우리나라의 관습적인 필법(東俗匹法)은 4장 또는 3장 5척으로 하고,
中國𤱈法二百四十歩里法三百六十歩或三百歩 중국의 묘(畝)법은 240보를 1묘로 삼고, 리(里)법은 360보 또는 300보를 1리로 삼는다.
東俗田一萬尺為結百尺為負十尺為束一尺為把田尺見大典 우리나라 풍속의 전답 법은 10,000평방척을 1결(結), 100평방척을 1부(負), 10평방척을 1속(束), 1평방척을 1파(把)로 삼으며, 전척(田尺)은 "경국대전"에 나온다.
量起於圭六粒之粟十圭為撮十撮為抄十抄為勺十勺為合 부피(量)는 규(圭)에서 시작하니 조(粟) 6알의 분량이다. 10규는 1촬(撮), 10촬은 1초(鈔), 10초는 1작(勺), 10작은 1합(合)이다.
黄鍾之實千二百黍實其龠両龠為合十合為升十升為斗十斗為斛又謂之石 황종관의 실제 용적은 1,200알의 기장(黍)으로 그 1약(龠)을 채우고, 2약이 1합(合)이 되며, 10합은 1승(升), 10승은 1두(斗), 10두는 1곡(斛)이 되니 이를 석(石)이라고도 부른다.
古有豆區釜鍾庾秉今比日不用東俗以十五斗為石 옛날에는 두(豆)·구(區)·부(釜)·종(鍾)·유(庾)·병(秉)이 있었으나 요즈음은 쓰지 않으며, 우리나라 풍속에서는 15두를 1석으로 삼는다.
𢖍起於黍一粒之粟 저울(權衡)은 기장 한 알 크기의 조(粟)에서 시작한다.
千黍為絫 기장 1,000알이 1류(絫)가 되고,
十絫為銖 10류가 1주(銖)가 되며,
八銖為錙 8주가 1지(錙)가 된다.
六銖為分 6주가 1분(分)이 되고,
四分為両 4분이 1량(兩)이 된다.
黄鍾之實千二百黍 황종(黃鍾) 율관의 실체는 기장 1,200알이며,
其重十二銖 그 무게는 12주이다.
両之為両 이를 두 배로 한 것이 1량이 된다.
十六両為斤 16량이 1근(斤)이 되니
即三百八十四銖 곧 384주이다.
三十斤為鈞 30근이 1균(鈞)이 되고,
四鈞為石 4균이 1석(石)이 된다.
後世両下有錢分整里毫不用銖絫 후세에는 량(兩) 아래에 전(錢), 분(分), 리(釐), 호(毫)가 있어 주(銖)와 류(絫)를 쓰지 않는다.
十五斤為一穪 15근을 1칭(稱)이라 하고,
二百斤為引 200근을 1인(引)이라 한다.
錢鈔千文為母貟 지전과 동전 1,000문을 모아서 1원(圓)이라 하고,
五貫為錠 5관(貫)을 1정(錠)이라 한다.
東俗一百斤為一稱 동국(조선) 풍속에는 100근을 1칭이라 하고,
小錢四百為両 소전 400문(文)을 1량,
大鎬一百為両 대호 100문(文)을 1량,
千文為錢 1,000문을 1전(錢)이라 하니,
錢鈔附見于此 지전과 동전의 단위는 여기에 덧붙여 적는다.
度以尺為君有匹則匹為君 길이(度)는 척(尺)을 으뜸(君)으로 삼고 필(匹)이 있으면 필을 으뜸으로 삼으며,
量以石為君無石則斗為君 부피(量)는 석(石)을 으뜸으로 삼고 석이 없으면 두(斗)를 으뜸으로 삼고,
權𢖍以両為君有斤則斤為君 무게(權衡)는 량(兩)을 으뜸으로 삼고 근(斤)이 있으면 근을 으뜸으로 삼으니,
君煮成數之主 으뜸은 성수(成數)의 주인이 된다.
一千百千萬是謂正數 1, 10, 100, 1,000, 10,000을 정수(正數)라 하고,
億延京域科穰溝澗正載是謂大數 억(億), 자(秭/延), 경(京), 해(垓/域), 서(秭/科), 양(穰), 구(溝), 간(澗), 정(正), 재(載)를 대수(大數)라 하며,
分啓厘毫絲忽㣲纎沙塵竢側漠是謂小數 분(分), 림(厘), 호(毫), 사(絲), 홀(忽), 미(微), 섬(纖), 사(沙), 진(塵), 애(埃/竢), 병(渺/側), 막(漠)을 소수(小數)라 한다.
大數之上推之至於無極 대수의 위로 미루어 나가면 무극(無極)에 이르고,
小數之下推之入於無倫 소수의 아래로 미루어 들어가면 무륜(無倫)에 들어간다.
此聖人所謂語大莫能載語小莫䏻志者毁 이것이 성인이 말한 "큰 것을 말함에 다 담을 수 없고, 작은 것을 말함에 다 기록할 수 없다"고 한 것이다.
해설
3의 제곱
3의 0제곱은 자(子)이다. 3의 1제곱은 축(丑)이다. 3의 2제곱은 인(寅)이다. 3의 3제곱은 묘(卯)이다. 3의 4제곱은 진(辰)이다. 3의 5제곱은 사(巳)이다. 3의 6제곱은 오(午)이다. 3의 7제곱은 미(未)이다. 3의 8제곱은 신(申)이다. 3의 9제곱은 유(酉)이다. 3의 10제곱은 술(戌)이다. 3의 11제곱은 해(亥)이다.
여기서는 열두 진(辰)의 각 순서를 1에서 시작하는 연속적인 3의 거듭제곱에 대응시키며, 마지막 값은 3¹¹=177,147이 된다.
10의 자리
이는 구수략의 수위제삼(3장: 수의 자릿수 표현)에서 또 말한다.
1의 자리는 一이다. 10의 자리는 十이다. 100의 자리는 百이다. 1000의 자리는 千이다. 10000의 자리는 萬이다. 이곳부터 10의 네제곱 단위로 올라간다. 1부터 1000까지를 재활용한다. 100000000의 자리는 億이다. 1000000000000의 자리는 兆이다. 10000000000000000의 자리는 京이다. 100000000000000000000의 자리는 垓이다. 10^{24} 자리는 秭이다. 이후로 穰, 溝, 澗, 正, 載, 極이 있다.
그 이상으로는 恒河沙, 阿僧祇, 那由他, 不可思議, 無量大數가 있다.
이것들은 소수점과 함께 쓸 경우도 있으나 대체로 근사치에 해당하는 분수를 쓴다.
아주 작은 것, 소수점은 아래와 같다.
0.1은 分이다. 0.01은 釐이다. 0.001은 毫이다. 0.0001은 絲이다.
이후로 10의 마이너스 1제곱만큼 꾸준히 줄며 忽, 微, 纖, 沙, 塵, 埃, 渺, 漠, 模糊, 逡巡, 須臾, 瞬息, 彈指, 剎那, 六德, 虛空, 清淨가 있다.
예를 들어보면, 3.141592는 편의 상 근사치를 써서 355/113 = 3.141592920353982으로 쓸 수 있다. 그러나 천문을 알기 위한 역법과 같은 것에서는 三有一分四厘一毫五絲九忽二微처럼 복잡하게 쓰기도 한다.
같은 원리로 길이, 곡식 등에도 10의 단위로 이름을 붙이나, 도량형에 따라 5, 6, 8 등이 섞이기도 한다. 대표적으로 시장에서 쓰는 합, 되, 말, 섬 등의 단위도 지역마다 다르다. 어떤 지역에서는 10합은 1되, 15되는 1말, 10말이 1섬이기도 하고, 항상 공식을 따르지 않는다.
이것으로 보아 수를 재는 데에는 그 단위와 용례가 중요하다는 것이다.
이 책에서 가르치는 대표적인 단위들을 아래에 소개하겠다.
우선, 고전 도량형의 척은 용도별로 달랐다. 여기서는 천을 잴 때 쓰는 포백척을 사용하고, 이것은 황종척의 1.348배에 해당한다.
여덟 척을 심(尋)이라 하고, 심의 두 배를 상(常)이라 한다. 단(端)을 재는 법은 5장 또는 4장으로 하고, 필(匹)을 재는 법은 3장 2척 또는 2장 4척으로 한다. 우리나라의 관습적인 필법(東俗匹法)은 4장 또는 3장 5척으로 하고, 중국에서는 묘(畝)법을 쓴다.
아쉽게도, 현대 연구들은 문헌 복원과 애국심의 고취를 중심으로 한다는 한계가 있다. 우리는 수학을 배우려는 것이지 문화를 배우려는 것이 아니다. 당대의 황종척 사료들을 따라, 황종척을 343.66mm로 하여 역산할 수도 있다.
그러나 산학에서는 분수를 이용한 표현법이 쓰기 편하다. 구장산술부터 이어오는 유구한 기약분수 근사치를 써서 343과 3분의 2라고 하고 넘어가겠다. 정확한 값은 아니지만 이것이 보기 편하다.
343 ⅔ × 1.348
= 343 ⅔ × 1348/1000
= 1031/3 × 337/250
= (1031 × 337)/(3 × 250)
= 347447/750
= 463 197/750
깔끔하지 못한 1.348배를 단위의 기준으로 삼기 때문에, 현대 환산은 참고용으로만 쓰겠다.
만약 더 깔끔한 계산을 하여 근사치로 쓰고 싶다면, 1.348과 가까우며 분수꼴이 단순한 기약분수 31/23을 써도 된다. 이 단위계가 SI 단위계와 호환 척도로 살아남았다면 비슷한 연산을 했을지도 모른다.
343 ⅔ × 31/23
= 1031/3 × 31/23
= 31961/69
= 463 + 14/69
= 463 14/69
한 심은 여덟 척이고, 한 상은 열여섯 자를 얻게 된다.
그렇다면 수치 간의 비율을 산정해 보자.
| 단위 | 비율 |
|---|---|
| 척:심 | 1:8 |
| 척:장 | 1:10 |
| 심:필 (24척) | 1:3 |
| 심:필 (30척) | 4:15 |
| 심:필 (40척) | 1:5 |
| 심:필 (35척) | 8:35 |
이와 같이 체계가 복잡한 것을 알 수 있다. 첫째로, 황종척의 기준은 어떤 해의 해주 좁쌀 무게를 재어 고정하여 쓰기 때문에, 동으로 만든 기준 척이 마모되어 소실되면 복구할 수 없다. 둘째로, 심:필을 만약 1:8:24로 하면 1:8, 1:3의 합성으로 그 비율을 계산하기가 수월하지만, 대부분은 국제적인 문제를 고려하며 정비하고 조율하여 그 값이 매우 더럽다. 셋째로, 기후 변화로 인해 좁쌀의 무게가 크게 변하면 과거 행정 기록이 크게 뒤틀려서 국민 소득, 경제 지수 등의 산출에 난항을 겪게 된다. 이렇게 되면 수백 년 전의 기준 척을 발굴해야 하는 참사가 생긴다.
이것이 SI 단위계가 생기고 국제적으로 통용되게 된 까닭이다. 프랑스에서 제정한 SI 단위계는 기준 양기 등이 사라져도 쉽게 복구할 수 있다.
차원
| 미지수 대응 | 한문 |
|---|---|
| x | 正, 本數 |
| x^2 | 平方 |
| x^3 | 立方 |
| x^4 | 三乘方 |
| x^5 | 四乘方 |
이후로는 N乘方이라고 쭉쭉 쓰면 된다.
평방 차원의 단위
10,000평방척을 1결(結), 100평방척을 1부(負), 10평방척을 1속(束), 1평방척을 1파(把)로 삼는다는 것은 10^0, 10^1, 10^2, 10^4 단위로 간다.
기준수가 10이면 10의 비율을 따르고, 기준수가 2이면 2의 비율을 따르며, 2와 3이 함께 기준이 되면 그로부터 이루어지는 합성수의 비율을 따른다. 이처럼 먼저 기준을 세워 단위계의 본보기를 삼아야 사람이 읽고 쓰기에 편리하다.
數位苐三 수의 자릿수와 표기법: 제 3장
수위(數位) 제 3 (수의 자릿수와 표기법)
位者數之溥也所以循次而正數者延有名斯有位矣故數位次之 위(位)란 수가 펼쳐진 것이니, 차례를 따라 수를 바르게 잡는 까닭에 이름이 있으면 자리가 생기므로 수위가 그 다음에 온다.
小數借散數紀位尺度同七寸下為小數 소수(小數)는 산수(散數, 흩어진 수/작은 단위)를 빌려 자리를 기록하니 척도와 같다. 7촌 이하가 소수가 된다.
借凢數紀位量𢖍 범수(凡數, 일반 수)를 빌려 자리를 기록하는 것은 양(量, 부피)과 형(衡, 무게)이다.
六㣲十纎為微九毫 6미(微)는, 10섬(纖)이 1미(微)가 되며 9호 자리에 해당한다.
三忽十㣲為忽八整 3홀(忽)은, 10미(微)가 1홀(忽)이 되며 8정 자리에 해당한다.
五絲十忽為絲七分 5사(絲)는, 10홀(忽)이 1사(絲)가 되며 7분 자리에 해당한다.
九毫十絲為毫六寸 9호(毫)는, 10사(絲)가 1호(毫)가 되며 6촌 자리에 해당한다.
四釐十毫為釐五尺 4리(釐)는, 10호(毫)가 1리(釐)가 되며 5척 자리에 해당한다.
二分十一為文分 2분(分)은, 10리가 1분이 되며 문분(文分) 자리에 해당한다.
釐為分四十 리가 분이 되는 것은 40 자리에 해당한다.
一右即單數下細分之 이상(右)은 곧 단수(單數) 아래로 세분화한 수이다.
數列於正數單位之二百 수는 정수(正數) 단위 아래에 배열된다.
右如尺下之寸分千二千下之升合也 이상은 척(尺) 아래의 촌(寸)·분(分)이나, 말(斗) 아래의 승(升)·합(合)과 같다.
正數紀位 정수(正數)로 자리를 기록한다.
借經世萬物之數一萬 "경세서"에 따르면 만물의 수인 일만(一萬)을 빌려 쓴다.
六即單位斛量斗下為小數 6은 단위 수가 되며, 곡식의 양을 잴 때 말(斗) 아래는 작은 수가 된다.
七十一勺 71작(勺).
五百六合 506합(合).
六千二升 6,002승(升, 되).
一萬七斗 10,007두(斗, 말).
八十即十萬位五石 80은 즉 십만 자리의 5석(石, 섬).
九百即百萬位三十 900은 즉 백만 자리의 30.
八千即千萬位八百 8,000은 즉 천만 자리의 800.
二萬即萬萬位四千 是為億數 2만은 즉 만 곱하기 만 자리의 4,000. 이것은 억 단위의 수(億數)가 된다.
大數 큰 수
借經世元㑹之數紀位九萬 "경세원회"의 수를 빌려 9만 자릿수를 기록한다.
六億權𢖍錢下為小數 6억이며, 무게 단위(권형)에서 돈(錢) 아래는 소수(작은 단위)가 된다.
五十即十億位一毫 50은 즉 십억 자리의 1호.
四百即百億位二釐 400은 즉 백억 자리의 2리.
七千即千億位三分 7,000은 즉 천억 자리의 3분.
○萬即萬億位四錢 만은 즉 만억 자리의 4전.
九十即十萬億位五两 90은 즉 십만억 자리의 5량.
九百即百萬億位六十 900은 즉 백만억 자리의 60.
○即千萬億位七百 즉 천만억 자리의 700.
一兆即萬萬億位 是為兆數八千 1조는 곧 만만억의 자리이며, 이것이 조 단위의 수 8천이다. 현대 한국어 명수법에서 1조는 10^{12}이다.
一十即十兆位九萬 10은 곧 십조 자리의 9만이다.
二百即百兆位斤下帶两者用斤 200은 곧 백조 자리이며, 근 아래에 량이 달린 것은 근을 단위로 사용한다.
八千即千兆位下留两法詳見 8,000은 곧 천조 자리이다. 아래에 량을 남겨 두는 법은
筭書 산학 서적에 자세히 나온다.
二萬即萬兆位 2만은 곧 만조 자리이다.
大數有三等如言千萬曰億十億曰兆十兆曰亰此丁數也如言萬萬曰億萬萬億曰垂萬萬兆曰京此中數也如言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京此上數也 대수에는 세 등급이 있다. 천만을 억이라 하고, 십억을 조라 하며, 십조를 경이라 말하는 것은 하수다. 만만을 억이라 하고, 만만억을 조라 하며, 만만조를 경이라 말하는 것은 중수다. 만만을 억이라 하고, 억억을 조라 하며, 조조를 경이라 말하는 것은 상수다.
下數淺短計有未周上數宏廓用無所適故今以中數紀位 하수는 얕고 짧아 헤아림에 부족함이 있고, 상수는 너무 아득하여 쓰임에 적당하지 않다. 그러므로 이제 중수로 자릿수를 기록한다.
先㝎位名凢筭數之位左為上而右為下左為首而右為尾生數自右而陞成數自左而降皆以滿十為率三位而㓛百五位而成萬九位而成億十七位而成兆二十工位而成京 먼저 자릿수의 이름을 정한다. 무릇 셈하는 자릿수는 왼쪽이 위가 되고 오른쪽이 아래가 되며, 왼쪽이 머리가 되고 오른쪽이 꼬리가 된다. 수가 생겨나는 것은 오른쪽에서부터 올라가고, 수가 이루어지는 것은 왼쪽에서부터 내려오는데, 모두 10이 차는 것을 기준으로 삼는다. 3자리가 되면 백을 이루고, 5자리가 되면 만을 이루며, 9자리가 되면 억을 이루고, 17자리가 되면 조를 이루며, 25자리가 되면 경을 이룬다.
筭法莫先扵正名莫要扵㝎位苟或不審乎定位則以千為百以寸為尺者多矣傳曰差若毫釐繆千里此之謂也 산법은 이름을 바로잡는 것보다 먼저 할 것이 없고, 자릿수를 정하는 것보다 중요한 것이 없다. 만약 자릿수를 정하는 데 신중하지 않다면 천을 백이라 하고 촌을 척이라 하는 오류가 많아진다. 전해오는 말에 "터럭만큼의 차이가 천 리의 오류가 된다"라고 한 것이 바로 이를 두고 하는 말이다.
해설
수의 단위는 제 2장과 연결한 해설을 쓴다.
구수략 정 편에서 쓰는 산술값인 15말=1섬을 쓴다.
| 한문 구절 | 해석 및 환산 | 자릿수 의미 | 수치 배치 및 예시 |
|---|---|---|---|
| 六即單位 斛量斗下為小數 | 6두 (말 이하 단위는 소수) | 단위 자리 (10^0) | 6두 (기준 단위) |
| 七十一勺 | 71작 | 소수 1~2위 (10^{-2}\sim 10^{-1}) | 0.71두 |
| 五百六合 | 506합 | 소수 3~5위 (10^{-5}\sim 10^{-3}) | 0.0506두 |
| 六千二升 | 6,002승 | 소수 6~9위 (10^{-9}\sim 10^{-6}) | 0.6002두 |
| 一萬七斗 | 10,007두 | 정수 10^1 \sim 10^4 자리 | 10,007두 |
| 八十即十萬位五石 | 십만 자리는 8, 예시 5석 | 십만 자리 (10^5) | 8 (예시 5석=75두) |
| 九百即百萬位三十 | 백만 자리는 9, 예시 30 | 백만 자리 (10^6) | 9 (예시 30두) |
| 八千即千萬位八百 | 천만 자리는 8, 예시 800 | 천만 자리 (10^7) | 8 (예시 800두) |
| 二萬即萬萬位四千 | 만만(억) 자리는 2, 예시 4,000 | 억/만만 자리 (10^8) | 2 (예시 4,000두) |
| 是為億數 | 억 단위 도달 확인 | 최종 자릿수 확인 | 억 단위 지정 완료 |
자릿수가 억 단위에 달하여 是為億數(억 자리에 달한다)는 말과 정합성이 있다.
정수(正數) 구절에서 말(斗)을 기준 단위로 두고 승·합·작을 소수로, 석·두를 자릿수 가중치 예시로 배치했듯이, 대수(大數) 구절에서는 무게(權衡) 단위인 돈(錢)을 기준 단위로 설정하고 호·리·분·전·량·근을 자릿수와 결합하여 대수를 전개한다.
| 한문 구절 | 무게 단위 및 자릿수 대응 | 자릿수 가중치 (중수 기준) | 배치 수치 및 자릿수 의미 |
|---|---|---|---|
| 六億權𢖍錢下為小數 | 6억, 돈(錢) 아래가 소수 단위 | 억 (10^8) | 6억 (돈 기준 단위) |
| 五十即十億位一毫 | 십억 자리는 5, 예시 1호 | 십억 (10^9) | 5 (예시 1호) |
| 四百即百億位二釐 | 백억 자리는 4, 예시 2리 | 백억 (10^{10}) | 4 (예시 2리) |
| 七千即千億位三分 | 천억 자리는 7, 예시 3분 | 천억 (10^{11}) | 7 (예시 3분) |
| ○萬即萬億位四錢 | 만억 자리는 0, 예시 4전 | 만억 (10^{12}) | 0 (예시 4전) |
| 九十即十萬億位五两 | 십만억 자리는 9, 예시 5량 | 십만억 (10^{13}) | 9 (예시 5량) |
| 九百即百萬億位六十 | 백만억 자리는 9, 예시 60 | 백만억 (10^{14}) | 9 (예시 60) |
| ○即千萬億位七百 | 천만억 자리는 0, 예시 700 | 천만억 (10^{15}) | 0 (예시 700) |
| 一兆即萬萬億位 是為兆數八千 | 1조(만만억) 자리 1, 예시 8,000 | 조/만만억 (10^{16}) | 1조 지정, 예시 8,000 |
| 一十即十兆位九萬 | 십조 자리는 1, 예시 9만 | 십조 (10^{17}) | 1 (예시 9만) |
| 二百即百兆位斤下帶两者用斤 | 백조 자리는 2 (근 아래 량 붙은 것은 근 환산) | 백조 (10^{18}) | 2 (근 환산 법제 적용) |
| 八千即千兆位 | 천조 자리는 8 | 천조 (10^{19}) | 8 |
| 二萬即萬兆位 | 만조 자리는 2 | 만조 (10^{20}) | 2 |
대수 삼등법(하수·중수·상수) 비교 표
대수(大數) 명수법에서 제시하는 하수·중수·상수의 삼등법 구조 및 각 진법의 수식 표현 f(x) (x는 단위 단계 인덱스, x = 0: 만, x = 1: 억, x = 2: 조, x = 3: 경 ...) 비교는 다음과 같다.
| 구분 | 증가 규칙 | 수식 표현 f(x) | 만(萬) | 억(億) | 조(兆) | 경(京) | 비고 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 하수(下數) | 명수가 바뀔 때마다 10배 증가 | f(x)=10^(4+x) | 10⁴ | 10⁵ | 10⁶ | 10⁷ | 淺短計有未周: 범위가 좁아 계산에 부족함 |
| 중수(中數) | 만에서 억까지는 10⁴배, 이후에는 10⁸배씩 증가 | f(0)=10⁴, f(x)=10^(8x) (x≥1) | 10⁴ | 10⁸(萬萬) | 10¹⁶(萬萬億) | 10²⁴(萬萬兆) | 본문에서 채택한 실용적 명수법 |
| 상수(上數) | 앞 단위의 값을 자승하여 증가 | f(0)=10⁴, f(x)=f(x−1)² | 10⁴ | 10⁸(萬萬) | 10¹⁶(億億) | 10³²(兆兆) | 宏廓用無所適: 범위가 지나치게 커서 실용에 부적합 |
중수와 상수는 만·억·조까지는 같은 값을 갖지만, 경부터 갈라진다. 중수에서는 경이 만만조(萬萬兆), 즉 10²⁴이고, 상수에서는 경이 조조(兆兆), 즉 10³²이다.
의미
이것은 수의 표기와 단위계의 적절한 정립에 대한 통찰을 제공한다.
현대 SI 단위계로 보아도, 쌀 10kg을 쌀 10000g으로 표현하면 그 수를 헤아리기 더 어려워진다. 만약 밀리그램 단위로 써서 쌀 10000000mg으로 표현하면 언어가 그 양을 묘사하기에 더욱 어렵다. 하지만 거꾸로 같은 것을 0.01t로 표현하면 실제보다 그 양이 너무 작아 보인다.
과거의 하수, 중수, 상수에 빗대면 쌀포대에 1톤 단위를 쓰는 것은 상수를 쓰는 일과 비슷하고, 쌀에 mg 단위를 쓰는 것은 하수를 쓰는 일과 가깝다. 따라서 쌀포대는 너무 크지도 작지도 않은 적당한 단위로 표현해야 하는 대상인 것이다.
이러한 교훈은 이미 많은 문화권에서 알려져서, 하수, 중수, 상수 대신 과학적 표기법을 이용한다.
이 책의 중수 명수법에서 1억은 1\text{e}+8이고, 1조는 1\text{e}+16이다. 이렇게 하면 1조는 1억의 10^8배임이 시각적으로 드러나지만, 직관적으로 양을 가늠하기는 어렵다. 이것은 상수의 특성과 같다.
0.0001은 10^{-4}이므로 1\text{e}-4이다. 그리고 0.00000001은 10^{-8}이므로 1\text{e}-8이다.
이것도 0.00000001은 0.0001보다 10^{-4}배만큼 작다는 것, 즉 만 배 작다는 것이 시각적으로 드러난다. 하지만 그것이 얼마나 작은 수인지는 알기 힘들어, 화학이나 물리학 등 과학에 쓸 만은 하나 보편적으로 물건을 다루는 박물학 따위에서 쓸 일이 아니다.
이것이 상수와 중수, 하수의 용도가 왜 분리되는지 충분히 잘 설명하는 실제 예시이다.
數象苐四 수의 상에 대하여: 제 4장
수상(數象) 제4 (수의 상에 대하여)
象者數之形也所以布䇿而明數者也有位 상(象)이란 수의 형상이니, 산목(策)을 놓아 수를 명확히 나타내는 수단이다. 斯有象矣故數象次之 자릿수(位)가 있으면 곧 상(象)이 생기므로, 수의 형상(數象)을 다음에 놓는다.
참고: 산목 표기법은 유니코드에 나오지 않음. 아래는 인도-아라비아 숫자로 대체하였으나 원문의 표기 지침은 별도 이미지로 전달함.
布筭口訣見啓蒙 산목 놓는 구결은 산학계몽(算學啓蒙)에 나온다.
一從十𢖍百立千僵 일의 자리는 세로(從), 십의 자리는 가로(橫)로 놓으며, 백의 자리는 세우고(立) 천의 자리는 눕힌다(僵).
千十相並萬百相望 천의 자리와 십의 자리가 서로 형태를 같이하고, 만의 자리와 백의 자리가 서로 형태를 대응한다.
滿六以上五在上方 6 이상으로 차면 5를 나타내는 산목을 위에 놓는다.
六不積聚五不單張 6은 개별 산목을 6개 쌓지 않으며, 5는 아래쪽에 단독으로 펼쳐 놓지 않는다.
言十過身不滿自當 10을 넘어가면 자릿수를 올리고, 10이 채워지지 않으면 그대로 해당 자리의 수로 삼는다.
若明此訣可習九章 만약 이 구결을 명확하게 안다면 구장산술(九章算術)을 익힐 수 있다.
解曰一者單數也綂徴
해설하여 가로되, 1(一)은 단수(일의 자리 수)이니 통틀어 나타내고
一至九之數十者十數
1부터 9까지의 수이다. 10(十)은 십의 자리 수이니
九十之數
90까지의 수이며,
也統一十至
또한 10부터 통틀어 나타낸다.
遇一則下筭遇二則下二筭三泗五放此六則下 一六而加一於上以當五數七則上一下二八則上一下三九則上一下四即河圖一含五而得六二含五而得七三含五而得八四含五而得九也
1을 만나면 아래에 산목 1개를 놓아두고, 2를 만나면 아래에 2개를 놓으며, 3·4(泗)·5도 이와 같다. 6은 아래에 1개를 놓아두고 위에 1개를 더하여 5의 수에 해당하게 한다. 7은 위에 1개·아래에 2개, 8은 위에 1개, 아래에 3개, 9는 위에 1개·아래에 4개를 놓는다. 이는 곧 하도(河圖)에서 1이 5를 머금어 6이 되고, 2가 5를 머금어 7이 되며, 3이 5를 머금어 8이 되고, 4가 5를 머금어 9가 되는 원리와 같다.
人之手指僂數亦象之也布筭一從一𢖍隂陽錯綜之義也
사람이 손가락을 굽혀 수를 세는 것 역시 이 상(象)을 본뜬 것이다. 산목를 놓을 때 한 자리는 세로(從=縱), 한 자리는 가로(𢖍=橫)로 놓는 것은 음양이 서로 교차하는 뜻이다.
從者宙數也𢖍者宇數也傳曰宇宙在乎手非此之謂歟
세로는 주(宙, 시간)의 수이고, 가로는 우(宇, 공간)의 수이다. 옛 글에 "우주가 손안에 있다"라고 한 것이 바로 이를 두고 한 말이 아니겠는가?
𢖍與横同從輿縦同
𢖍은 橫과 같고, 從은 縱과 같다.
해설
산목의 표기법은 5진법이 10진법 안에 쪼개져 있는 형태이다. 가령 6을 표시할 때는 5+1로 표기하고, 7을 표기할 때는 2+5로 표기한다. 자릿수를 바꾸게 되면 착종한다. 이를 통하여 바른 순서로 되어 있는 산목은 10^{2x}자리, 뒤집어진 순서로 되어 있는 산목은 10^{2n+1}자리라는 읽기 규칙이 생긴다. 이러한 착종 규칙은 과거 산학 뿐만 아니라, 현대 기법을 이해할 때도 많은 도움이 된다. 수학으로 우주를 설명할 수 있다고 주장하는 수학철학적인 선언문을 뒤로 하고 봐도 이것은 매우 명확하다.
만약 f(x)/f'(x)를 표기한다고 하면, 도함수는 가로세로가 모두 뒤집히면서 한 차원이 내려간다. 만약 도함수의 차수를 실수로 제대로 내리지 못한 경우를 가정해 보자. f(x)=x^3+2x+1에 대한 접선을 나타내는 f'(x)=3x^2+2를 표기하려 했는데, 실수로 f(x)=3x^3+2x 자리에 뒀다. 만약 회전까지는 기억하여 두었는데, 자릿수만을 실수한 것이면 곧바로 도함수의 표기 위치가 잘못된 것을 알고 한 칸 오른쪽 방향으로 밀기만 하면 된다. 아쉽게도 최석정이 살던 시기에서는 서양에서도 미적분학이 이제 막 발전하는 시기였고, 당연히 동양에 수입되었을 리도 만무한 학문이었다. 하지만 역설적으로 미적분학이 수입되고, 모두가 도함수 개념을 아는 이 시대에 산가지의 자릿수 표기법은 우연히 검산 단계에서 큰 이점을 준다. 따라서, 이 교재에 대한 보충 해설도 상태 재활용이 가능하거나 검산이 중요한 경우 산가지를 사용해서 진행한다.
이것이 하도 그래프의 동작 원리에 대해 말하고 있지만, 실상 그 원리를 파헤쳐 보면 오진법이라는 말을 우회적으로 하고 있다. 따라서, 앞으로 구수략을 비롯한 동양 수학 서적을 읽고 풀 때는 오진법과 십진법 모두에 능숙한 것이 좋다.
비록 해설하여 풀 만한 것이 없는 우주론적 설명이지만, 산가지를 쓰는 법은 이 단계에서 아주 잘 익혀 둬야 한다. 앞으로 나올 방정식 등의 문제에서는 복잡한 연산이 산가지나 주판으로 진행될 것이다. 문제없이 따라오려면 잘 쓸 줄 알아야 한다. 가능하면 호너법, 뉴턴-랩슨법, 리차드슨 외삽 등의 현대 수치해석 기법들을 산가지로 해 보아도 좋다. 소 잡는 칼로 닭을 잡으면 안 된다고 하지만, 소 잡는 칼을 잘 쓰는 사람은 닭 잡는 칼도 잘 적응한다.
數器苐五 수의 도구에 대하여: 제 5장
수기(數器) 제5 (수의 도구에 대하여)
器者數之物也所以備物而立數者也
기(器)란 수의 물건이니, 기물을 갖추어 수를 세우는 수단이다.
有象斯有器矣故數器次之
상(象)이 있으면 곧 기(器)가 존재하므로, 수의 도구(數器)를 다음에 놓는다.
古者以竹為筭圜徑一分長六寸二百七十一枚而成六觚為一握
옛날에는 대나무로 산목(筭)을 만들었으니, 둥근 지름이 1분(分), 길이가 6촌(寸)이었다. 271개를 모으면 6각 기둥 모양이 되어 한 쥐임(一握)이 되었다.
正筭赤負筭黒
양수를 나타내는 산목(正筭)은 붉은색으로 하고, 음수를 나타내는 산목(負筭)은 검은색으로 하였다.
後世以珠代筭左實右法而古制失夫
후세에는 주판알(珠)로 산목을 대신하여 왼쪽에 실(實, 나누어지는 수/결과)을 두고 오른쪽에 법(法, 나누는 수/기준)을 두었는데, 이로 인해 옛 제도가 사라졌다.
近世竹筭不以圜而以三棱
요즘 세상의 대나무 산목은 둥글게 만들지 않고 삼각 기둥(三棱) 모양으로 만든다.
凢數生扵律審扵度嘉扵量鉤扵𢖍
무릇 수(數)는 율려(律)에서 생겨나고, 길이(度)에서 정밀해지며, 부피(量)에서 조화로워지고, 저울(𢖍=衡)에서 겨루어 측정된다.
律度量𢖍數之器也
율려·길이·부피·저울(律度量衡)은 수의 도구(器)이다.
𢖍運生䂓䂓圜生矩矩方生䋲䋲直生凖
가로선/저울이 움직여 동그라미를 생기게 하고, 동그라미는 둥근 원을 만들며, 직각자(矩)는 네모를 만들고, 먹줄(繩)은 바름/직선을 만들며, 수평기(準)는 평평함을 만든다.
䂓矩䋲凖器之則也
그림자/원(規), 직각자(矩), 먹줄(繩), 수평기(準)는 도구의 법칙이다.
易曰形而上謂之道形而下謂之器
주역에 이르기를 "형상 이전의 무형을 도(道)라 하고, 형상 이후의 유형을 기(器)라 한다"라고 하였고,
邵子曰筭法之起不岀乎方圎平直此之謂也
소자(邵康節)가 말하기를 "셈법(算法)의 일어남은 방(方, 네모), 원(圓, 동그라미), 평(平, 평평함), 직(直, 바름)에서 벗어나지 않는다"라고 한 것이 바로 이를 두고 한 말이다.
數法苐六 수의 운용법에 대하여: 제 6장
수법(數法) 제6 (수의 운용법에 대하여)
法者數之用也 所以通變而成數者也
법(法)이란 수의 쓰임(用)이니, 변화에 통달하여 수를 완성하는 수단이다.
有器斯有法矣 故數法次之
도구(器)가 있으면 곧 운용법(法)이 존재하므로, 수의 운용법(數法)을 다음에 놓는다.
神而明之 存乎其人
(이 법을) 신묘하게 적용하고 밝히 깨닫는 것은 오직 그 사람의 역량에 달려 있다.
해설
𢖍은 제 4장에서의 해설대로 橫의 의미를 내포하게 하겠다.
과거의 산목은 271개를 묶음으로 팔았고, 나중에 나올 낙서육고도의 격자에 가운데 칸을 채운 모양으로 판매되곤 했다. 산목은 주로 삼각형으로 제작되어 넣고 빼기 편리하게 하였다.
하지만 근래의 수학은 매우 복잡한 연산을 하며, 사용하다 보면 300개가 넘는 산목을 책상 위에 쌓아 두게 된다. 하물며 6촌이나 길이가 되는 산목으로 수치해석 연산을 한다고 생각하면 공간 배치에 쓰는 시간이 해를 구하거나 수렴 속도를 구하는 데 쓰는 시간보다 많아질 것이다.
따라서 중고로 조선 후기 산가지를 구해서 셈을 하는 것은 현대의 책상 크기를 보아서라도 권하지 않으며, 여러 통을 구한다면 그 가격이 너무 비싸다. 현대에는 이쑤시개를 이용하여 셈해도 된다. 만약 색 구분이 힘들다면 음수에 빗금 모양으로 이쑤시개를 덧대거나, 붓으로 색을 칠해 놔도 좋다.
수를 만약 길이를 재다가 발생한 추상 개념이라고 가정하면, 세제곱까지의 고차항, 그리고 등식 역시 알기 쉬운 개념으로 정리된다.
실제로 문제를 풀어 보자. f(x)=3x^3+2x+1일 때 f(30.28)-f(30)을 구하는 연산을 이렇게 푼다.
x가 한 자의 단위길이라고 하자. 문제는 이렇게 된다.
3 입방자 만큼의 물이 있고, 2자 길이의 자가 있다. 문구점 주인 1명이 두 개를 팔고자 한다. 시장 상인회에서 앞으로 1자를 30.28cm에서 30cm로 맞추기로 하였다. 이 때 물은 얼마만큼 덜 팔아야 하고, 자는 얼마만큼 잘라야 하는가?
이렇게 되면 상수항은 문구점 주인으로 외부화되어 연산에서 빠진다. 자연히 연산 대상은 f(x)=3x^3+2x일 때 f(30.28)-f(30)이 되고, 상수항 1을 제거하면 그래프 전체가 아래로 1만큼 평행이동한다.
이 때, {f(30)}\lt{f(30.28)} 이기 때문에 구하고자 하는 변화량은 f(30.28)-f(30)이 되는 것이 일상 속 필요에 그 유래가 있다고 해석할 수도 있다.
그럼 이 때 1자의 길이가 통일되는 것은 율려를 다듬는 것이며, 자의 길이가 바뀌는 것도 그에 맞게 길이가 변하는 것이며, 부피가 변하여 저울에 다른 값이 전달되는 것도 길이에 따른 것이다. 그렇기에 단위계의 벼리가 되는 것이 바로 율려라고 하는 것이다.
저울을 중심을 기점으로 한 바퀴 돌렸을 때 저울의 끝이 움직이는 궤적을 이으면 2πr이다. 그리고 그 안쪽의 너비까지 모두 꽉 찬 평면으로 두면 πr²이다. 내부를 하나의 평면으로 간주함으로서 비로소 원의 개념이 완성된다.
소자(소강절)의 말대로 셈이 네모, 동그라미, 평평함과 곧음에서 시작하였다는 것은 서양의 수학 역시 유클리드 기하학부터 시작해 비유클리드 기하학으로 확장된다는 것으로 보아 설득력이 있는 해석이다. 따라서, 수의 근본이 가로와 세로를 알아 높고 낮은 좌표를 아는 것, 그리고 모난 것과 둥근 것을 알아 재는 것에 있다는 것은 유클리드의 원론, 데카르트 좌표계, 미적분학, 그리고 비유클리드 기하학까지 뻗어 나가는 서양 기하학의 상당 부분을 설명하는 이치인 셈이다.
총론 사법 (總論四法)
총론 사법: 네 가지 연산법(사칙연산)에 대한 총론
有四法加減乘除是已加減二法俗云行筭加者
(연산에는) 네 가지 법이 있으니 가(加)·감(減)·승(乘)·제(除)가 이것이다. 가·감 두 법은 항간에서 '행산(산가지로 셈함)'이라 일컬으니, 가(加)란
添而息之減者損而消之加為陽減為陰加法以減
보태어 불리는 것이고, 감(減)이란 덜어내어 줄이는 것이다. 가(加)는 양(陽)이 되고 감(減)은 음(陰)이 되니, 가법은 빼기로써
還原減法以加還原即一格筭也乘者二數相交而
원상복구(검산)하고 감법은 더하기로써 원상복구하니, 이것이 곧 한 단계의 셈법(1차 연산)이다. 승(乘, 곱하기)이란 두 수가 서로 교차하여
生出所乘之數除者二數相準而約得所除之數乘
곱한 수를 생기게 하는 것이고, 제(除, 나누기)란 두 수를 서로 비추어 견주어 나눔으로써 나눈 수를 얻는 것이다. 승(乘)
亦陽除亦陰乘法以除還原除法以乘還原即多格
또한 양(陽)이고 제(除) 또한 음(陰)이니, 승법은 나누기로써 원상복구하고 제법은 곱하기로써 원상복구하니, 이것이 곧 여러 단계의
筭也加減者無法之乘除筭術之權輿也乘除者有
셈법(다차 연산)이다. 가·감은 법(기준/연산 규칙)이 없는 승·제이자 산술의 시작(시초)이고, 승·제는
法之加減筭術之型範也傳曰斷木為棋院革為鞠
법(기준)이 있는 가·감이자 산술의 표준(규범)이다. 전해 오는 말에 "나무를 잘라 바둑돌을 만들고 가죽을 매어 공을 만든다"고 하였으니,
亦皆有法焉况於望術乏精微乎
이것들 역시 모두 법이 있거늘, 하물며 정밀하고 미묘한 산술에 있어서야 말해 무엇하겠는가?
가법과 감법 (加法減法)
加法減法
더하기 법과 빼기 법
一為主加一得二加二得三加三得四加四得五加主得六加六得七加七得八加八得九
1을 주(기준)로 삼아 1을 더하면 2를 얻고, 2를 더하면 3을 얻고, 3을 더하면 4를 얻고, 4를 더하면 5를 얻고, 5(主=五)를 더하면 6을 얻고, 6을 더하면 7을 얻고, 7을 더하면 8을 얻고, 8을 더하면 9를 얻는다.
二為主加一得三加二得四加三得五加四得六加五得七加六得八加七得九
2를 주로 삼아 1을 더하면 3을 얻고, 2를 더하면 4를 얻고, 3을 더하면 5를 얻고, 4를 더하면 6을 얻고, 5를 더하면 7을 얻고, 6을 더하면 8을 얻고, 7을 더하면 9를 얻는다.
三為主加一得四加二得五加三得六加四得七加五得八加六得九
3을 주로 삼아 1을 더하면 4를 얻고, 2를 더하면 5를 얻고, 3을 더하면 6을 얻고, 4를 더하면 7을 얻고, 5를 더하면 8을 얻고, 6을 더하면 9를 얻는다.
四為主加一得五加二得六加三得七加四得八加五得九
4를 주로 삼아 1을 더하면 5를 얻고, 2를 더하면 6을 얻고, 3을 더하면 7을 얻고, 4를 더하면 8을 얻고, 5를 더하면 9를 얻는다.
五為主加一得六加二得七加三得八加四得九
5를 주로 삼아 1을 더하면 6을 얻고, 2를 더하면 7을 얻고, 3을 더하면 8을 얻고, 4를 더하면 9를 얻는다.
六為主加一得七加二得八加三得九
6을 주로 삼아 1을 더하면 7을 얻고, 2를 더하면 8을 얻고, 3을 더하면 9를 얻는다.
七為主加一得八加二得九
7을 주로 삼아 1을 더하면 8을 얻고, 2를 더하면 9를 얻는다.
八為主加一得九
8을 주로 삼아 1을 더하면 9를 얻는다.
進加一加九成十二
자릿올림 더하기(進加): 1에 9를 더하면 10이 되고 2에
(※ 뒤의 加八成十三 등과 연동되는 구절로, 10의 보수를 이용한 자릿올림 덧셈 규격입니다.)
加八成十
8을 더하면 10이 되고
三加七成十
7을 더하면 10이 되고
四加六成十
4에 6을 더하면 10이 되고
五加五成十
5에 5를 더하면 10이 되고
六加四成十
6에 4를 더하면 10이 되고
七加三成十
7에 3을 더하면 10이 되고
8에 八加二成十
2를 더하면 10이 되고
九加一成十加位數
1을 더하면 10이 되니 자릿수를 더한다.
盈者本位見成數
(10이 채워져) 차는 것은 본래 자리에 완성된 수(일의 자리 남은 수)를 나타내고,
進位得一數
윗자리로 올려(進位) 1이라는 수를 얻는다.
九為主減一為八減二為七減三為六減四為五減五為四減六為三減七為二減八為一
9를 주로 삼아 1을 빼면 8이 되고, 2를 빼면 7이 되고, 3을 빼면 6이 되고, 4를 빼면 5가 되고, 5를 빼면 4가 되고, 6을 빼면 3이 되고, 7을 빼면 2가 되고, 8을 빼면 1이 된다.
八為主減一為七減二為六減三為五減四為四減五為三減六為二減七為一
8을 주로 삼아 1을 빼면 7이 되고, 2를 빼면 6이 되고, 3을 빼면 5가 되고, 4를 빼면 4가 되고, 5를 빼면 3이 되고, 6을 빼면 2가 되고, 7을 빼면 1이 된다.
七為主減一為六減二為五減三為四減四為三減五為二減六為一
7을 주로 삼아 1을 빼면 6이 되고, 2를 빼면 5가 되고, 3을 빼면 4가 되고, 4를 빼면 3이 되고, 5를 빼면 2가 되고, 6을 빼면 1이 된다.
六為主減一為五減二為四減三為三減四為二減五為一
6을 주로 삼아 1을 빼면 5가 되고, 2를 빼면 4가 되고, 3을 빼면 3이 되고, 4를 빼면 2가 되고, 5를 빼면 1이 된다.
五為主減一為四減二為三減三為二減四為一
5를 주로 삼아 1을 빼면 4가 되고, 2를 빼면 3이 되고, 3을 빼면 2가 되고, 4를 빼면 1이 된다.
四為主減一為三減二為二減三為一
4를 주로 삼아 1을 빼면 3이 되고, 2를 빼면 2가 되고, 3을 빼면 1이 된다.
三為主減一為二減二為一
3을 주로 삼아 1을 빼면 2가 되고, 2를 빼면 1이 된다.
二為主減一為一
2를 주로 삼아 1을 빼면 1이 된다.
退減十減一餘九
자리내려 빼기(退減): 10에서 1을 빼면 0이다.
十減二餘八
10에 2를 빼면 8이 남고
十減三餘七
10에 3을 빼면 7이 남고
十減四餘六
10에 4를 빼면 6이 남고
十減五餘五
10에 5를 빼면 5가 남고
十減六餘四
10에 6을 빼면 4가 남고
十減七餘三
10에 7을 빼면 3이 남고
十減八餘二
10에 8을 빼면 2가 남고
十減九餘一
10에 구를 빼면 1이 남는다
減位數虛者前位借一數
자릿수를 받아 내리면, 빈 자릿수의 앞 자리가 1을 빌려준다
退位除各數
자릿수를 물려 각 수에서 덜어낸다.
乘法 除法: 곱셈법과 나눗셈법
一為主乘一得一乘二得二乘三得三乘四得四乘五得五乘六得六乘七得七乘八得八乘九得九
1을 기준으로 삼는다. 1을 곱하면 1, 2를 곱하면 2, 3을 곱하면 3, 4를 곱하면 4, 5를 곱하면 5, 6을 곱하면 6, 7을 곱하면 7, 8을 곱하면 8, 9를 곱하면 9를 얻는다.
二為主乘一得二乘二得四乘三得六乘四得八乘五得十乘六得十二乘七得十四乘八得十六乘九得十八
2를 기준으로 삼는다. 1을 곱하면 2, 2를 곱하면 4, 3을 곱하면 6, 4를 곱하면 8, 5를 곱하면 10, 6을 곱하면 12, 7을 곱하면 14, 8을 곱하면 16, 9를 곱하면 18을 얻는다.
三為主乘一得三乘二得六乘三得九乘四得十二乘五得十五乘六得十八乘七得二十一乘八得二十四乘九得二十七
3을 기준으로 삼는다. 1을 곱하면 3, 2를 곱하면 6, 3을 곱하면 9, 4를 곱하면 12, 5를 곱하면 15, 6을 곱하면 18, 7을 곱하면 21, 8을 곱하면 24, 9를 곱하면 27을 얻는다.
四為主乘一得四乘二得八乘三得十二乘四得十六乘五得二十乘六得二十四乘七得二十八乘八得三十二乘九得三十六
4를 기준으로 삼는다. 1을 곱하면 4, 2를 곱하면 8, 3을 곱하면 12, 4를 곱하면 16, 5를 곱하면 20, 6을 곱하면 24, 7을 곱하면 28, 8을 곱하면 32, 9를 곱하면 36을 얻는다.
五為主乘一得五乘二得十乘三得十五乘四得二十乘五得二十五乘六得三十乘七得三十五乘八得四十乘九得四十五
5를 기준으로 삼는다. 1을 곱하면 5, 2를 곱하면 10, 3을 곱하면 15, 4를 곱하면 20, 5를 곱하면 25, 6을 곱하면 30, 7을 곱하면 35, 8을 곱하면 40, 9를 곱하면 45를 얻는다.
六為主乘一得六乘二得十二乘三得十八乘四得二十四乘五得三十乘六得三十六乘七得四十二乘八得四十八乘九得五十四
6을 기준으로 삼는다. 1을 곱하면 6, 2를 곱하면 12, 3을 곱하면 18, 4를 곱하면 24, 5를 곱하면 30, 6을 곱하면 36, 7을 곱하면 42, 8을 곱하면 48, 9를 곱하면 54를 얻는다.
七為主乘一得七乘二得十四乘三得二十一乘四得二十八乘五得三十五乘六得四十二乘七得四十九乘八得五十六乘九得六十三
7을 기준으로 삼는다. 1을 곱하면 7, 2를 곱하면 14, 3을 곱하면 21, 4를 곱하면 28, 5를 곱하면 35, 6을 곱하면 42, 7을 곱하면 49, 8을 곱하면 56, 9를 곱하면 63을 얻는다.
八為主乘一得八乘二得十六乘三得二十四乘四得三十二乘五得四十乘六得四十八乘七得五十六乘八得六十四乘九得七十二
8을 기준으로 삼는다. 1을 곱하면 8, 2를 곱하면 16, 3을 곱하면 24, 4를 곱하면 32, 5를 곱하면 40, 6을 곱하면 48, 7을 곱하면 56, 8을 곱하면 64, 9를 곱하면 72를 얻는다.
九為主乘一得九乘二得十八乘三得二十七乘四得三十六乘五得四十五乘六得五十四乘七得六十三乘八得七十二乘九得八十一
9를 기준으로 삼는다. 1을 곱하면 9, 2를 곱하면 18, 3을 곱하면 27, 4를 곱하면 36, 5를 곱하면 45, 6을 곱하면 54, 7을 곱하면 63, 8을 곱하면 72, 9를 곱하면 81을 얻는다.
一為主除九為九除八為八除七為七除六為六除五為五除四為四除三為三除二為二除一為一
1을 기준으로 삼는다. 9를 나누면 9, 8을 나누면 8, 7을 나누면 7, 6을 나누면 6, 5를 나누면 5, 4를 나누면 4, 3을 나누면 3, 2를 나누면 2, 1을 나누면 1이 된다.
二為主除十八為九除十六為八除十四為七除十二為六除十為五除八為四除六為三除四為二除二為一
2를 기준으로 삼는다. 18을 나누면 9, 16을 나누면 8, 14를 나누면 7, 12를 나누면 6, 10을 나누면 5, 8을 나누면 4, 6을 나누면 3, 4를 나누면 2, 2를 나누면 1이 된다.
三為主除二十七為九除二十四為八除二十一為七除十八為六除十五為五除十二為四除九為三除六為二除三為一
3을 기준으로 삼는다. 27을 나누면 9, 24를 나누면 8, 21을 나누면 7, 18을 나누면 6, 15를 나누면 5, 12를 나누면 4, 9를 나누면 3, 6을 나누면 2, 3을 나누면 1이 된다.
四為主除三十六為九除三十二為八除二十八為七除二十四為六除二十為五除十六為四除十二為三除八為二除四為一
4를 기준으로 삼는다. 36을 나누면 9, 32를 나누면 8, 28을 나누면 7, 24를 나누면 6, 20을 나누면 5, 16을 나누면 4, 12를 나누면 3, 8을 나누면 2, 4를 나누면 1이 된다.
五為主除四十五為九除四十為八除三十五為七除三十為六除二十五為五除二十為四除十五為三除十為二除五為一
5를 기준으로 삼는다. 45를 나누면 9, 40을 나누면 8, 35를 나누면 7, 30을 나누면 6, 25를 나누면 5, 20을 나누면 4, 15를 나누면 3, 10을 나누면 2, 5를 나누면 1이 된다.
六為主除五十四為九除四十八為八除四十二為七除三十六為六除三十為五除二十四為四除十八為三除十二為二除六為一
6을 기준으로 삼는다. 54를 나누면 9, 48을 나누면 8, 42를 나누면 7, 36을 나누면 6, 30을 나누면 5, 24를 나누면 4, 18을 나누면 3, 12를 나누면 2, 6을 나누면 1이 된다.
七為主除六十三為九除五十六為八除四十九為七除四十二為六除三十五為五除二十八為四除二十一為三除十四為二除七為一
7을 기준으로 삼는다. 63을 나누면 9, 56을 나누면 8, 49를 나누면 7, 42를 나누면 6, 35를 나누면 5, 28을 나누면 4, 21을 나누면 3, 14를 나누면 2, 7을 나누면 1이 된다.
八為主除七十二為九除六十四為八除五十六為七除四十八為六除四十為五除三十二為四除二十四為三除十六為二除八為一
8을 기준으로 삼는다. 72를 나누면 9, 64를 나누면 8, 56을 나누면 7, 48을 나누면 6, 40을 나누면 5, 32를 나누면 4, 24를 나누면 3, 16을 나누면 2, 8을 나누면 1이 된다.
九為主除八十一為九除七十二為八除六十三為七除五十四為六除四十五為五除三十六為四除二十七為三除十八為二除九為一
9를 기준으로 삼는다. 81을 나누면 9, 72를 나누면 8, 63을 나누면 7, 54를 나누면 6, 45를 나누면 5, 36을 나누면 4, 27을 나누면 3, 18을 나누면 2, 9를 나누면 1이 된다.
九法乘而九數為主而乘九數得散數除以九數為主而除散數為九數
구구법에서 곱셈은 한 수를 기준으로 삼아 다른 수를 곱하여 개별적인 곱을 얻는 것이고, 나눗셈은 한 수를 기준으로 삼아 그 곱을 나누어 원래의 수를 얻는 것이다.
若夫乘以九數為主而乘散數得九數除以九數為主而除九數為散數
또한 곱셈에서는 곱하는 수를 기준으로 삼아 개별적인 수에 곱하면 그 배수들을 얻고, 나눗셈에서는 나누는 수를 기준으로 삼아 그 배수들을 나누면 각각의 몫을 얻는다.
則一為主得新數而二四五八皆無不盡之數三六七九皆有不盡之數
1을 기준으로 삼으면 모든 수를 그대로 얻는다. 2·4·5·8에서는 무한소수가 없고, 3·6·7·9에서는 무한소수가 있다.
乘法為主者元數也被除者實數也所求者商數也
곱셈에서 기준으로 삼는 수를 원수(元數)라 한다. 나눗셈에서 나누어지는 수를 실수(實數)라 하고, 구하려는 결과를 상수(商數)라 한다.
乘法以正數乘小數則積算反小于元數
곱셈에서 정수에 1보다 작은 수를 곱하면, 그 곱은 도리어 원래 수보다 작아진다.
除法以小數除正數則商算反大于實數
나눗셈에서 1보다 작은 수로 정수를 나누면, 그 몫은 도리어 나누어지는 수보다 커진다.
乘數夫元而妻法夫乘妻而求積也
곱셈에서는 원수(元數)를 남편에 비유하고, 법수(法數)를 아내에 비유한다. 남편과 아내를 곱하여 적수(積數)를 구한다.
除數母法而子實母除子而求商也
나눗셈에서는 법수를 어머니에 비유하고 실수를 자식에 비유한다. 어머니로 자식을 나누어 몫을 구한다.
合而言之元法為母而積實為子也
이를 합하여 말하면, 원수와 법수는 부모가 되고 적수와 실수는 자식이 된다.
元數亦稱實數
원수는 실수라고도 부른다.
해설
이 절은 사칙연산을 네 개의 독립된 계산으로 나열하지 않고, 서로 되돌릴 수 있는 두 연산쌍으로 나누어 설명한다.
| 연산쌍 | 정방향 | 역방향 | 원상복구 |
|---|---|---|---|
| 가감 | 加 | 減 | 더한 수를 다시 빼면 원래 수로 돌아간다. |
| 가감 | 減 | 加 | 뺀 수를 다시 더하면 원래 수로 돌아간다. |
| 승제 | 乘 | 除 | 곱한 수로 다시 나누면 원래 수로 돌아간다. |
| 승제 | 除 | 乘 | 나눈 수를 다시 곱하면 원래 수로 돌아간다. |
이를 식으로 나타내면 다음과 같다.
(a + b) - b = a
(a - b) + b = a
(a × b) ÷ b = a
(a ÷ b) × b = a
마지막 두 식은 나눗셈이 정의되고 나머지가 생기지 않는 범위에서 성립한다.
1. 덧셈과 뺄셈
본문은 덧셈을 수를 보태어 늘리는 연산으로, 뺄셈을 수를 덜어 줄이는 연산으로 정의한다.
| 원문 | 현대적 표현 |
|---|---|
| 加者添而息之 | 덧셈은 기존 수에 다른 수를 보태어 값을 늘린다. |
| 減者損而消之 | 뺄셈은 기존 수에서 다른 수를 덜어 값을 줄인다. |
| 加法以減還原 | 덧셈의 결과에 같은 수를 빼면 원래 수를 복원할 수 있다. |
| 減法以加還原 | 뺄셈의 결과에 같은 수를 더하면 원래 수를 복원할 수 있다. |
여기서 還原은 반대 연산을 적용하여 처음 값을 되찾는 것을 뜻한다.
예를 들어 7에 5를 더한 결과가 12라면, 12에서 5를 빼어 7이 나오는지 확인할 수 있다.
7 + 5 = 12
12 - 5 = 7
반대로 12에서 5를 뺀 결과가 7이라면, 7에 5를 더하여 12가 나오는지 확인할 수 있다.
12 - 5 = 7
7 + 5 = 12
따라서 덧셈과 뺄셈은 같은 두 수 사이의 변화를 서로 반대 방향으로 수행한다.
| 시작값 | 변화량 | 덧셈 | 뺄셈 |
|---|---|---|---|
| a | b | a + b | a - b |
| 7 | 5 | 12 | 2 |
| 12 | 5 | 17 | 7 |
본문은 덧셈을 陽, 뺄셈을 陰으로 분류한다. 계산에서는 각각 증가 방향과 감소 방향을 나타내는 대응 관계로 이해할 수 있다.
2. 곱셈과 나눗셈
곱셈과 나눗셈도 서로 반대되는 연산쌍으로 설명된다.
| 원문 | 현대적 표현 |
|---|---|
| 乘者二數相交而生出所乘之數 | 곱셈은 두 수를 결합하여 곱을 구한다. |
| 除者二數相準而約得所除之數 | 나눗셈은 두 수를 견주어 몫을 구한다. |
| 乘法以除還原 | 곱셈의 결과를 같은 수로 나누면 원래 수를 복원할 수 있다. |
| 除法以乘還原 | 나눗셈의 결과에 같은 수를 곱하면 원래 수를 복원할 수 있다. |
예를 들어 7에 5를 곱한 결과가 35라면, 35를 5로 나누어 7을 복원할 수 있다.
7 × 5 = 35
35 ÷ 5 = 7
35를 5로 나눈 결과가 7이라면, 7에 5를 곱하여 35를 복원할 수 있다.
35 ÷ 5 = 7
7 × 5 = 35
곱셈과 나눗셈은 수를 일정량만큼 변화시키는 것이 아니라 일정한 배수에 따라 변화시킨다.
| 시작값 | 기준값 | 곱셈 | 나눗셈 |
|---|---|---|---|
| a | b | a × b | a ÷ b |
| 7 | 5 | 35 | 7/5 |
| 35 | 5 | 175 | 7 |
덧셈과 뺄셈이 수의 차이를 처리한다면, 곱셈과 나눗셈은 수 사이의 배율을 처리한다.
3. 두 연산쌍의 구조
본문은 덧셈과 곱셈을 같은 방향의 연산으로, 뺄셈과 나눗셈을 그 반대 방향의 연산으로 묶는다.
| 기본 변화 | 반복·배율 변화 | 반대 연산 |
|---|---|---|
| 加 | 乘 | 수를 늘린다. |
| 減 | 除 | 수를 줄이거나 분할한다. |
그러나 덧셈과 곱셈은 같은 연산이 아니다.
a + b
는 a를 b만큼 증가시키는 연산이고,
a × b
는 a를 b배로 만드는 연산이다.
예를 들어 시작값이 4이고 기준값이 3일 때 결과는 다음과 같다.
| 연산 | 계산 | 결과 |
|---|---|---|
| 덧셈 | 4 + 3 | 7 |
| 곱셈 | 4 × 3 | 12 |
| 뺄셈 | 4 - 3 | 1 |
| 나눗셈 | 4 ÷ 3 | 4/3 |
덧셈과 뺄셈은 일정량을 직접 보태거나 덜어 낸다. 곱셈과 나눗셈은 한 수를 다른 수와의 배율 관계에 따라 변화시킨다.
4. 一格算과 多格算
본문은 덧셈과 뺄셈을 一格算, 곱셈과 나눗셈을 多格算으로 구분한다.
| 구분 | 해당 연산 | 계산 구조 |
|---|---|---|
| 一格算 | 加·減 | 대응하는 자리의 수를 직접 더하거나 뺀다. |
| 多格算 | 乘·除 | 여러 자리와 여러 중간 결과를 사용하여 계산한다. |
한 자리 덧셈은 두 숫자의 합을 바로 구한다.
7 + 2 = 9
여러 자리 덧셈도 각 자리를 차례로 처리한다.
347
+ 286
-----
633
반면 곱셈은 한 수의 각 자리와 다른 수의 각 자리를 차례로 결합하고, 자리값에 맞추어 중간 결과를 배치한다.
347
× 26
------
2082
6940
------
9022
나눗셈도 몫을 세우고 곱하고 빼는 절차를 여러 차례 반복한다.
따라서 一格算과 多格算은 연산의 수학적 차수를 뜻한다기보다, 계산 과정에서 다루는 자리와 단계의 수를 구분하는 표현으로 읽을 수 있다.
5. 無法之乘除와 有法之加減
본문은 가감과 승제의 관계를 다음과 같이 정리한다.
| 원문 | 현대적 표현 |
|---|---|
| 加減者無法之乘除 | 덧셈과 뺄셈은 아직 반복 규칙으로 조직되지 않은 승제의 기본 형태이다. |
| 乘除者有法之加減 | 곱셈과 나눗셈은 정해진 규칙에 따라 가감을 반복하여 수행하는 연산이다. |
| 算術之權輿也 | 가감은 산술 계산의 출발점이다. |
| 算術之型範也 | 승제는 여러 단계의 계산 절차를 구성하는 기본 형식이다. |
곱셈은 같은 수의 반복 덧셈으로 전개할 수 있다.
4 × 3
= 4 + 4 + 4
= 12
나눗셈은 같은 수의 반복 뺄셈으로 전개할 수 있다.
12 ÷ 3
= 4
12 - 3 = 9
9 - 3 = 6
6 - 3 = 3
3 - 3 = 0
3을 네 번 빼면 0이 되므로 몫은 4이다.
다만 실제 곱셈과 나눗셈은 단순 반복만으로 수행하지 않는다. 자리값과 중간 결과를 이용하여 반복 횟수를 줄인다. 따라서 有法은 가감을 일정한 절차에 따라 조직한다는 뜻으로 이해할 수 있다.
사칙연산의 관계를 정리하면 다음과 같다.
덧셈 ── 반대 연산 ── 뺄셈
│ │
│ 반복·자리값 적용 │ 반복·자리값 적용
↓ ↓
곱셈 ── 반대 연산 ── 나눗셈
6. 한 자리 덧셈표
본문의 덧셈표는 합이 9 이하인 한 자리 덧셈을 모두 열거한다.
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||||
| 6 | 7 | 8 | 9 | |||||
| 7 | 8 | 9 | ||||||
| 8 | 9 |
이 표는 덧셈의 교환법칙 때문에 절반만 기록해도 전체 결과를 알 수 있다.
a + b = b + a
예를 들어 본문에는 2 + 7 = 9가 있지만 7 + 2 = 9를 별도로 반복하지 않는다.
| 기록된 식 | 같은 결과를 갖는 식 |
|---|---|
| 1 + 8 = 9 | 8 + 1 = 9 |
| 2 + 7 = 9 | 7 + 2 = 9 |
| 3 + 6 = 9 | 6 + 3 = 9 |
| 4 + 5 = 9 | 5 + 4 = 9 |
따라서 덧셈표는 중복을 제거한 삼각형 형태로 구성된다.
7. 10을 만드는 덧셈쌍
進加 부분에는 합이 10이 되는 수의 쌍이 정리되어 있다.
| 첫째 수 | 둘째 수 | 합 |
|---|---|---|
| 1 | 9 | 10 |
| 2 | 8 | 10 |
| 3 | 7 | 10 |
| 4 | 6 | 10 |
| 5 | 5 | 10 |
| 6 | 4 | 10 |
| 7 | 3 | 10 |
| 8 | 2 | 10 |
| 9 | 1 | 10 |
각 수에 대해 10을 만드는 짝은 다음과 같이 구할 수 있다.
10 - a
| a | 10 - a |
|---|---|
| 1 | 9 |
| 2 | 8 |
| 3 | 7 |
| 4 | 6 |
| 5 | 5 |
| 6 | 4 |
| 7 | 3 |
| 8 | 2 |
| 9 | 1 |
이 대응은 한 자리 덧셈에서 올림을 처리할 때 사용된다.
예를 들어 8에 7을 더할 때 8이 10이 되려면 2가 필요하다. 7을 2와 5로 나누어 처리하면 다음과 같다.
8 + 7
= 8 + 2 + 5
= 10 + 5
= 15
같은 방식으로 6에 8을 더하면 다음과 같다.
6 + 8
= 6 + 4 + 4
= 10 + 4
= 14
따라서 10을 만드는 덧셈쌍은 자릿올림이 있는 덧셈을 분해하는 기준이 된다.
8. 자릿올림
본문은 합이 한 자리를 넘을 때 현재 자리와 윗자리를 따로 처리한다.
| 원문 | 처리 |
|---|---|
| 盈者本位見成數 | 현재 자리에는 10을 제외하고 남은 수를 기록한다. |
| 進位得一數 | 윗자리에 1을 더한다. |
한 자리 수 a와 b의 합을 S라고 하면 다음과 같다.
S = a + b
S가 10보다 작으면 현재 자리에 S를 그대로 기록한다.
7 + 2 = 9
S가 10 이상이면 10을 현재 자리에서 제거하고 윗자리에 1을 올린다.
8 + 7 = 15
자리별로 나누면 다음과 같다.
| 항목 | 값 |
|---|---|
| 전체 합 | 15 |
| 현재 자리에 남는 수 | 5 |
| 윗자리로 올라가는 수 | 1 |
일반적으로 한 자리 덧셈에서는 다음과 같이 처리할 수 있다.
현재 자리 = (a + b)에서 10을 제외하고 남은 수
올림 = (a + b)가 10 이상이면 1, 아니면 0
본문에 실린 수의 범위에서는 a와 b가 모두 1부터 9까지이므로 합은 최대 18이다. 따라서 한 번의 덧셈에서 발생하는 올림은 0 또는 1이다.
| a + b의 범위 | 현재 자리 | 올림 |
|---|---|---|
| 0부터 9까지 | a + b | 0 |
| 10부터 18까지 | a + b - 10 | 1 |
여러 자리 덧셈에서는 낮은 자리에서 발생한 올림을 다음 자리에 더한다.
78
+ 67
----
일의 자리:
8 + 7 = 15
현재 자리에 5를 기록하고 십의 자리에 1을 올린다.
십의 자리:
7 + 6 + 1 = 14
현재 자리에 4를 기록하고 백의 자리에 1을 올린다.
결과는 다음과 같다.
78
+ 67
----
145
9. 한 자리 뺄셈표
본문의 뺄셈표는 양의 결과가 남는 한 자리 뺄셈을 열거한다.
| − | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ||
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | |||
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ||||
| 4 | 3 | 2 | 1 | |||||
| 3 | 2 | 1 | ||||||
| 2 | 1 |
이 표는 다음 범위만 다룬다.
피감수 > 감수
따라서 결과가 0이 되는 경우와 음수가 되는 경우는 표에 포함되지 않는다.
예를 들어 다음 식은 표에 있다.
9 - 8 = 1
7 - 4 = 3
5 - 2 = 3
그러나 다음 식은 기록되지 않는다.
5 - 5 = 0
3 - 7 = -4
이 절의 표는 자연수 범위에서 양의 차를 구하는 기본 뺄셈표로 사용된다.
10. 덧셈표와 뺄셈표의 대응
덧셈표와 뺄셈표는 같은 수 관계를 반대 방향으로 읽은 것이다.
| 덧셈 | 대응하는 뺄셈 |
|---|---|
| 1 + 8 = 9 | 9 - 8 = 1 |
| 2 + 7 = 9 | 9 - 7 = 2 |
| 3 + 6 = 9 | 9 - 6 = 3 |
| 4 + 5 = 9 | 9 - 5 = 4 |
| 3 + 4 = 7 | 7 - 4 = 3 |
| 2 + 3 = 5 | 5 - 3 = 2 |
하나의 식
a + b = c
에서 다음 두 뺄셈식을 얻을 수 있다.
c - a = b
c - b = a
예를 들어 다음 덧셈식이 주어졌다고 하자.
4 + 5 = 9
그러면 다음 두 뺄셈식이 성립한다.
9 - 4 = 5
9 - 5 = 4
따라서 덧셈표와 뺄셈표는 별개의 결과표가 아니라, 같은 세 수 사이의 관계를 서로 반대 방향으로 조회하는 표이다.
11. 계산 절차의 전체 구성
이 절에서 제시한 내용을 계산 순서로 정리하면 다음과 같다.
덧셈
- 두 자리의 수를 더한다.
- 합이 10 미만이면 현재 자리에 그대로 기록한다.
- 합이 10 이상이면 현재 자리에 10을 제외한 나머지를 기록한다.
- 윗자리에 1을 더한다.
- 가장 높은 자리까지 반복한다.
뺄셈
- 현재 자리의 피감수에서 감수를 뺀다.
- 뺄 수 있으면 차를 현재 자리에 기록한다.
- 현재 자리에서 뺄 수 없으면 윗자리에서 1을 가져온다.
- 가져온 1을 현재 자리의 10으로 바꾸어 뺄셈을 수행한다.
- 가장 높은 자리까지 반복한다.
곱셈
- 한 자리 덧셈을 기본 연산으로 사용한다.
- 같은 수의 반복 또는 각 자리의 부분곱을 계산한다.
- 자리값에 맞추어 중간 결과를 배치한다.
- 중간 결과를 덧셈으로 합친다.
나눗셈
- 한 자리 뺄셈과 곱셈을 기본 연산으로 사용한다.
- 나눗수가 현재 부분값에 몇 번 들어가는지 정한다.
- 그 몫과 나눗수의 곱을 현재 부분값에서 뺀다.
- 다음 자리를 내려 같은 과정을 반복한다.
본문에서 언급한 자릿수의 물림을 보면 더 정확하다.
102
- 7
-----
95
이 경우, 2-7은 음수로 내려가기 때문에 값이 부족하다.
이 때, 100의 자리에서 10을 빌려 90으로 만들고, 빌린 10자리는 7보다 1자리 높기 때문에 (9+1)=10 덧셈표에 따라 해당 빌림수를 9로 차감하고 한 칸 내린다. 10은 2가 있는 1의 자리에 도달하고, 12-7=5이다. 앞의 수는 빌림 처리 이후 90이 남았고, 90+5=95이다.
따라서 이 절은 사칙연산을 다음과 같은 의존 관계로 구성한다.
한 자리 덧셈표 ─┬─ 여러 자리 덧셈
└─ 곱셈의 부분 계산
한 자리 뺄셈표 ─┬─ 여러 자리 뺄셈
└─ 나눗셈의 부분 계산
덧셈 ↔ 뺄셈
곱셈 ↔ 나눗셈
가감은 직접 계산에 사용되는 기본 연산쌍이고, 승제는 가감과 자리값 처리를 정해진 절차에 따라 결합한 연산쌍이다.
0. 무한소수 문제
1에 2부터 9까지의 자연수를 나누었을 때, 무한소수인 것이 있고 아닌 것이 있다.
본문에서는 2, 4, 5, 8로 나누면 유한소수, 3, 6, 7, 9로 나누면 무한소수(원문에서는 不盡之數, 즉 소수점이 끊이지 않고 불어나는 수)라고 하였다.
이 부분에서는 나눗셈에 대하여만 말하였으나, 다른 연산에도 무한소수가 얼마든지 나온다. 예를 들어, 2부터 9까지의 자연수의 제곱근을 구하는 경우를 보면 2, 3, 5, 6, 7, 8은 무한소수, 4, 9는 2, 3으로 자연수 꼴이다.
컴퓨터나 산가지, 주판은 이러한 무한소수를 계산하기 불리하다. 따라서 얼마 정도에서 근삿값을 쓸 지도 산술 역량으로 볼 수 있다.
1. 곱셈에서 세 수의 역할
곱셈은 두 수를 결합하여 하나의 곱을 구하는 연산이다.
| 명칭 | 역할 | 현대식 표현 |
|---|---|---|
| 元數 | 처음 주어진 수 | 피승수 |
| 法數 | 元數에 곱하는 수 | 승수 |
| 積數 | 곱셈으로 얻은 결과 | 곱 |
곱셈의 기본 형식은 다음과 같다.
元數 × 法數 = 積數
예를 들어,
3 × 9 = 27
에서는 각 수의 역할이 다음과 같다.
| 수 | 명칭 | 역할 |
|---|---|---|
| 3 | 元數 | 처음 주어진 수 |
| 9 | 法數 | 곱하는 수 |
| 27 | 積數 | 곱하여 얻은 결과 |
본문의 乘數夫元而妻法夫乘妻而求積也는 元數와 法數를 결합하여 積數를 구한다는 구조를 부부 관계에 빗대어 설명한 것이다. 계산에서는 비유보다 다음 관계만 취하면 된다.
3 × 9 = 27
2. 나눗셈에서 세 수의 역할
나눗셈은 곱셈으로 얻은 결과와 두 인수 가운데 하나를 사용하여 나머지 인수를 구하는 연산이다.
| 명칭 | 역할 | 현대식 표현 |
|---|---|---|
| 實數 | 나누어지는 수 | 피제수 |
| 法數 | 나누는 수 | 제수 |
| 商數 | 나눗셈으로 구한 결과 | 몫 |
나눗셈의 기본 형식은 다음과 같다.
實數 ÷ 法數 = 商數
예를 들어,
27 ÷ 3 = 9
에서는 각 수의 역할이 다음과 같다.
| 수 | 명칭 | 역할 |
|---|---|---|
| 27 | 實數 | 나누어지는 수 |
| 3 | 法數 | 나누는 수 |
| 9 | 商數 | 구한 몫 |
본문의 除數母法而子實母除子而求商也는 法數로 實數를 나누어 商數를 구한다는 구조를 모자 관계에 빗대어 설명한 것이다.
27 ÷ 3 = 9
3. 곱셈식에서 미지수 구하기
곱셈식
3 × y = 27
에서 y는 法數에 해당한다.
| 항 | 값 |
|---|---|
| 元數 | 3 |
| 法數 | y |
| 積數 | 27 |
法數를 구하려면 積數를 元數로 나눈다.
法數 = 積數 ÷ 元數
수치를 대입하면 다음과 같다.
y = 27 ÷ 3
y = 9
따라서,
3 × 9 = 27
이다.
4. 하나의 곱셈식에서 얻는 두 나눗셈식
곱셈식에 사용되는 두 인수는 각각 다른 쪽 인수를 구하는 나눗수가 될 수 있다.
元數 × 法數 = 積數
에서 다음 두 나눗셈식이 나온다.
積數 ÷ 元數 = 法數
積數 ÷ 法數 = 元數
3 × 9 = 27에 적용하면 다음과 같다.
| 구하려는 수 | 계산 | 결과 |
|---|---|---|
| 法數 | 27 ÷ 3 | 9 |
| 元數 | 27 ÷ 9 | 3 |
따라서 하나의 곱셈식과 이에 대응하는 두 나눗셈식은 다음과 같이 묶인다.
| 연산 | 식 |
|---|---|
| 곱셈 | 3 × 9 = 27 |
| 나눗셈 | 27 ÷ 3 = 9 |
| 나눗셈 | 27 ÷ 9 = 3 |
일반적으로 세 수 a, b, c가 다음 관계를 만족한다면,
a × b = c
다음 관계도 함께 성립한다.
c ÷ a = b
c ÷ b = a
5. 연산에 따른 명칭의 전환
같은 수라도 곱셈과 나눗셈에서 맡는 역할에 따라 이름이 달라진다.
3 × 9 = 27과 27 ÷ 3 = 9를 비교하면 다음과 같다.
| 수 | 곱셈에서의 명칭 | 나눗셈에서의 명칭 |
|---|---|---|
| 3 | 元數 | 法數 |
| 9 | 法數 | 商數 |
| 27 | 積數 | 實數 |
곱셈의 결과인 積數는 나눗셈을 시작할 때 나누어지는 수인 實數가 된다.
積數 → 實數
곱셈의 두 인수 가운데 알고 있는 수는 나눗셈의 法數가 되고, 나머지 인수는 나눗셈으로 구하는 商數가 된다.
알고 있는 인수 → 法數
구하려는 인수 → 商數
따라서 元數와 法數라는 명칭은 수 자체에 고정된 이름이 아니라, 현재 계산에서 그 수가 맡은 역할을 나타낸다.
6. 元數亦稱實數
元數亦稱實數는 元數를 實數라고도 부른다는 뜻이다. 이는 元數와 實數가 항상 같은 위치에 놓인다는 뜻이 아니라, 계산의 기준이 되는 원래 수를 문맥에 따라 實數라고도 부를 수 있다는 명칭상의 설명이다.
다만 곱셈과 나눗셈의 역할을 구분하여 표시할 때는 다음처럼 나누어 쓰는 편이 명확하다.
| 연산 | 처음 주어진 값 | 연산 기준 | 결과 |
|---|---|---|---|
| 곱셈 | 元數 | 法數 | 積數 |
| 나눗셈 | 實數 | 法數 | 商數 |
7. 곱셈과 나눗셈의 상호 변환
곱셈과 나눗셈의 관계는 다음 표로 정리할 수 있다.
| 알고 있는 수 | 구하려는 수 | 계산 |
|---|---|---|
| 元數, 法數 | 積數 | 元數 × 法數 |
| 積數, 元數 | 法數 | 積數 ÷ 元數 |
| 積數, 法數 | 元數 | 積數 ÷ 法數 |
예를 들어 세 수가 3, 9, 27이라면 다음과 같다.
| 알고 있는 수 | 구하려는 수 | 식 | 결과 |
|---|---|---|---|
| 3, 9 | 곱 | 3 × 9 | 27 |
| 27, 3 | 다른 인수 | 27 ÷ 3 | 9 |
| 27, 9 | 다른 인수 | 27 ÷ 9 | 3 |
따라서 이 문단의 계산상 핵심은 다음 세 식이다.
元數 × 法數 = 積數
積數 ÷ 元數 = 法數
積數 ÷ 法數 = 元數
이는 곱셈표를 나눗셈표로 반대로 읽는 원리와도 연결된다.
| 곱셈표 | 대응하는 나눗셈표 |
|---|---|
| 3 × 9 = 27 | 27 ÷ 3 = 9 |
| 3 × 8 = 24 | 24 ÷ 3 = 8 |
| 3 × 7 = 21 | 21 ÷ 3 = 7 |
| 3 × 6 = 18 | 18 ÷ 3 = 6 |
| 3 × 5 = 15 | 15 ÷ 3 = 5 |
| 3 × 4 = 12 | 12 ÷ 3 = 4 |
| 3 × 3 = 9 | 9 ÷ 3 = 3 |
| 3 × 2 = 6 | 6 ÷ 3 = 2 |
| 3 × 1 = 3 | 3 ÷ 3 = 1 |
즉, 본문의 나눗셈 구구는 별도의 결과를 새로 나열한 것이 아니라, 곱셈 구구의 積數를 實數로 바꾸고 元數를 法數로 삼아 商數를 역으로 구하도록 배열한 표이다.
구구단표
上為綱數
윗 수가 강이 되는 수이고,
下為目數
아래 수가 목이 되는 수이다.
생물학 및 학술 분류에서 강이 상위 개념, 목이 하위 개념이다.
右為目數
오른쪽 수가 강이 되는 수이고,
左為綱數
왼쪽 수가 목이 되는 수이다.
夫綱而妻目也
강이 되는 수가 남편 수이고, 목이 되는 수가 아내 수이다.
圖即蔡氏範數方圖
그림은 채씨(채침, 남송의 철학자이자 수학자)가 말한 범수방도이다.
自上而下橫格有九自右而左直行有九綱第一直行為目直行自上看其相值處即相乘數 위에서 아래로 아홉 행을 두고, 오른쪽에서 왼쪽으로 아홉 열을 둔다. 첫째 세로줄을 머리항목으로 삼아 위에서부터 읽으며, 행과 열이 만나는 칸에는 두 수의 곱을 적는다.
전치행렬의 두 쌍을 곱한 것이다.
右為單數 오른쪽 수가 1의 자리이다. 左為十數 왼쪽 자리가 10의 자리이다. 從一而衡十也 1을 따라 가로로 눕히면 10의 자리이다.
九九合數口訣 구구합수구결(구구단 외는 법)
一一如一
일일은일
一二如二
일이는이
二二為四
이이는사
一三如三
일삼은삼
二三為六
이삼은육
三三為九
삼삼은구
一四如四
일사는사
二四為八
이사는팔
三四一十二
삼사일십이
四四一十六
사사일십육
一五如五
일오는오
二五得一十
이오는일십
三五一十五
삼오일십오
四五得二十
사오는이십
五五二十五
오오이십오
一六如六
일육은육
二六一十二
이육일십이
三六一十八
삼육일십팔
四六二十四
사륙이십사
五六得三十
오륙은삼십
六六三十六
육육삼십육
一七如七
일칠은칠
二七一十四
이칠일십사
三七二十一
삼칠이십일
四七二十八
사칠이십팔
五七三十五
오칠삼십오
六七四十二
육칠사십이
七七四十九
칠칠사십구
一八如八
일팔은팔
二八一十六
이팔일십육
三八二十四
삼팔이십사 四八三十二
사팔삼십이
五八得四十
오팔은사십
六八四十八
육팔사십팔
七八五十六
칠팔오십육
八八六十四
팔팔육십사
一九如九
일구는구
二九一十八
이구일십팔
三九二十七
삼구이십칠
四九三十六
사구삼십육
五九四十五
오구사십오
六九五十四
육구오십사
七九六十三
칠구육십삼
八九七十二
팔구칠십이
九九八十一
구구팔십일
당신은 100줄 넘는 한문을 읽었지만 정작 한건 구구단을 왼 것이다.
致加减者存乎
더하기와 빼기를 지극히 이르게 하는 이가 존재하는가?
乗除妙乗除者存乎
곱하기와 나누기의 묘를 곱하기와 나누기에 있게 하는 이가 존재하는가?
九九如言九九八十一九
'구구(九九)'는 "구구는 팔십일(9×9=81)"이라고 말하는 것과 같으니,
九者九箇九也九九母數也八十一子數也
'구구'라는 것은 9가 9개 있다는 뜻이다. '구구(9×9)'는 모수(원래의 수)이고, '팔십일(81)'은 자수(결과로 생겨난 수)이다.
如言八九七十二八九者八箇九也九箇八亦為七十二也以八乗九生七十二
"팔구는 칠십이(8×9=72)"라 말하는 것과 같이, '팔구'는 9가 8개 있다는 뜻이며 8이 9개 있어도 역시 72가 된다. 8로 9를 곱하면 72가 생겨난다.
八為夫而九為妻也
(여기서 앞의) 8은 남편(승수/곱하는 수)이 되고 (뒤의) 9는 아내(피승수/곱해지는 수)가 된다.
諸數放此有四十五句或該而或省者圖以揭其全訣以提其要也
모든 수는 이 예시를 따라 45구가 되는데, 혹 빠짐없이 다 갖추기도 하고 필요없는 부분을 줄여 생략하기도 한 것은, 그림으로 그 전모를 밝혀 보여주고, 구결로 그 요점을 제시하기 위함이다.