정삼각형 격자의 다각형 분할과 퇴타(退打) 수열
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gg582 · 2026-08-14 07:05:11 · 121 views
Table of contents
- 1. 정삼각형 격자의 좌표
- 2. 의장일면첨타
- 3. 산가지로 첨타의 상태를 추적한다
- 4. 의장일면평타
- 5. 평타를 첨타로 분해한다
- 6. 평타를 산판에서 직접 추적한다
- 7. 반 2q각형의 정의
- 8. 반팔각형
- 9. 반십각형
- 10. 반십이각형
- 11. 반다각형을 정삼각형 격자에 놓는다
- 12. 경계 위의 점도 포함한다
- 13. 각 다각형 변에서 경계 함수는 일차식이다
- 14. 여러 층에서 실제 모양을 본다
- 15. 정팔각형과 정십각형에서 바닥 함수가 생기는 이유
- 16. 반다각형 전체의 정확한 셀 수
- 17. 층폭에서 첨타를 찾아낸다
- 18. 계차의 변화점과 다각형의 꼭짓점
- 19. 중심선에 가까운 첨타가 더 작은 이유
- 20. 첨타 하나가 계차에 남기는 흔적
- 21. 계차에서 첨타를 정확하게 복원한다
- 22. 산판에서의 첨타 분해
- 23. 공유 셀의 사용 횟수
- 24. 산가지로 중복 제거를 추적한다
- 25. 반팔각형의 계산 절차
- 26. 반십각형의 계산 절차
- 27. 반십이각형의 계산 절차
- 28. 일반적인 반 2q각형
- 29. 일반화에서 실제로 일정한 것은 무엇인가
- 30. 격자 방향과 일치하는 경우
- 31. 격자 방향과 일치하지 않는 경우
- 32. 바닥 함수의 상태를 산판에서 추적한다
- 33. 연분수로 경계의 계차 패턴을 읽는다
- 34. 반팔각형에서 나타나는 기울기
- 35. 반십각형에서 나타나는 기울기
- 36. 천원술로 다항식 부분을 복원한다
- 37. 천원술 계산의 예
- 38. 원수와 보정 수열을 분리한다
- 39. 첨타의 생성함수
- 40. 급수에서 계차와 누적
- 41. 일반 반다각형의 생성함수
- 42. 첨타 깊이가 일차식인 경우
- 43. 바닥 함수가 들어가는 경우의 급수
- 44. 유한합
- 45. 제법으로 유리함수를 전개한다
- 46. 제법과 연분수
- 47. 비격자 경계에서는 연분수가 한 단계 먼저 쓰인다
- 48. 산판, 천원술, 급수의 연결
- 49. 전체 계산의 역할
- 50. 일반 정리
- 51. 결론
퇴타는 격자 위에 점 또는 셀을 규칙적으로 놓고, 층을 더하거나 덜어 내면서 그 수의 변화를 계산하는 방법이다.
여기서는 《구수략》의 의장일면첨타를 가장 작은 삼각형 단위로 삼는다. 먼저 의장일면첨타와 의장일면평타를 계산하고, 이를 정팔각형, 정십각형, 정십이각형을 중심선으로 반분한 도형에 적용한다.
반다각형은 먼저 정다각형을 정확하게 반분하여 정한다. 그 뒤 정삼각형 격자와 겹쳐 각 층의 폭을 세고, 중심선 방향으로 분해해 나간다.
이때 바깥쪽에서 만들어지는 첨타는 깊고, 중심선 가까이에서 분리되는 첨타는 남은 깊이가 짧으므로 더 작다.
따라서 계산의 순서는 다음과 같다.
\text{정 }2q\text{각형} \rightarrow \text{중심선 반분} \rightarrow \text{정삼각형 격자}
\rightarrow \text{층별 계수} \rightarrow \text{첨타 분해} \rightarrow \text{공유 셀 제거}
\rightarrow \text{계차} \rightarrow \text{천원술} \rightarrow \text{급수} \rightarrow \text{제법}
현대 좌표와 시그마는 계산을 짧게 적는 데 사용하고, 실제 상태 변화는 산가지, 계차, 천원술(다항식 계산의 한 방법)으로 추적한다.
1. 정삼각형 격자의 좌표
한 변의 길이가 1인 정삼각형을 생각한다.
꼭짓점에서 밑변으로 수선을 내리면 밑변은 둘로 나뉜다.
구를 a, 고를 b, 현을 c라 하면
a=\frac12
c=1
이다.
구고술/피타고라스 정리에 따라
a^2+b^2=c^2
이다.
값을 넣는다.
\left(\frac12\right)^2+b^2=1
따라서
\frac14+b^2=1
이고,
b^2=\frac34
이다.
길이는 양수이므로
\boxed{b=\frac{\sqrt3}{2}}
이다.
한 층의 높이를
h=\frac{\sqrt3}{2}
라 두자.
j번째 층의 왼쪽 기준점은
\left(\frac j2,hj\right)
이다.
같은 층에서 오른쪽으로 i칸 이동하면 격자점은
L_{i,j}=\left(i+\frac j2,hj\right)
이 된다.
따라서
\boxed{L_{i,j}=\left(i+\frac j2,\frac{\sqrt3}{2}j\right)}
이다.
2. 의장일면첨타
의장일면첨타의 깊이를 n이라 하자.
층별 셀 수는
1,2,3,\ldots,n
이다.
전체 수를 T(n)이라 하면
T(n)=1+2+\cdots+n
이다.
따라서
T(n)=\sum_{k=1}^{n}k
이고,
\boxed{ T(n)=\frac{n(n+1)}2 }
이다.
여러 깊이를 직접 보면 다음과 같다.
| n | T(n) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 6 |
| 4 | 10 |
| 5 | 15 |
| 6 | 21 |
3. 산가지로 첨타의 상태를 추적한다
산목은 자리마다 세로형과 가로형을 번갈아 사용한다.
| 수 | 세로형 | 가로형 |
|---|---|---|
| 1 | 𝍩 | 𝍠 |
| 2 | 𝍪 | 𝍡 |
| 3 | 𝍫 | 𝍢 |
| 4 | 𝍬 | 𝍣 |
| 5 | 𝍭 | 𝍤 |
| 6 | 𝍮 | 𝍥 |
| 7 | 𝍯 | 𝍦 |
| 8 | 𝍰 | 𝍧 |
| 9 | 𝍱 | 𝍨 |
빈 자리는 ◯로 나타낸다.
| 깊이 | 값 | 산목 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 𝍩 |
| 2 | 3 | 𝍫 |
| 3 | 6 | 𝍮 |
| 4 | 10 | 𝍠◯ |
| 5 | 15 | 𝍠𝍭 |
| 6 | 21 | 𝍡𝍩 |
여기서 계차(階差, 차분)를 취한다.
| 상태 | n=1 | n=2 | n=3 | n=4 | n=5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 원수 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 |
| 1차 계차 | - | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2차 계차 | - | - | 1 | 1 | 1 |
실제 계산은
3-1=2
6-3=3
10-6=4
15-10=5
이다.
다시 차를 취하면
3-2=1
4-3=1
5-4=1
이다.
따라서
\boxed{ \Delta^2T(n)=1 }
이다.
첨타 하나는 2차 계차가 1인 기본 퇴타라고 볼 수 있다.
4. 의장일면평타
의장일면평타는 사다리꼴 모양으로 한 층씩 넓어진다.
깊이가 n일 때 층폭을
n,n+1,n+2,\ldots,2n-1
로 둔다.
전체 수를 F(n)이라 하면
F(n)=\sum_{k=0}^{n-1}(n+k)
이다.
합을 나누면
F(n)=n^2+\sum_{k=0}^{n-1}k
이다.
따라서
F(n)=n^2+\frac{n(n-1)}2
이고,
\boxed{ F(n)=\frac{3n^2-n}{2} }
이다.
| n | 층폭 | F(n) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2, 3 | 5 |
| 3 | 3, 4, 5 | 12 |
| 4 | 4, 5, 6, 7 | 22 |
| 5 | 5, 6, 7, 8, 9 | 35 |
5. 평타를 첨타로 분해한다
같은 평타는 첨타 3개의 중첩으로 셀 수 있다.
바깥의 큰 첨타가 두 개이고, 중심부에 더 작은 첨타 하나가 들어간다.
깊이는
n,\quad n,\quad n-1
이다.
중복을 제거하기 전의 원합을 R_3(n)이라 하자.
R_3(n)=2T(n)+T(n-1)
이다.
최종 외곽은 사다리꼴 그대로 유지하고 첨타 분해선만 내부에 표시한다.
원합을 계산한다.
R_3(n)=2\frac{n(n+1)}2+\frac{n(n-1)}2
따라서
R_3(n)=n(n+1)+\frac{n(n-1)}2
이고,
\boxed{R_3(n)=\frac{3n^2+n}{2}}
이다.
그러나 직접 센 평타는
F(n)=\frac{3n^2-n}{2}
이다.
따라서 중복 사용분은
E_3(n)=R_3(n)-F(n)
이다.
즉
E_3(n)=\frac{2n}{2}
이므로
\boxed{ E_3(n)=n }
이다.
따라서
\boxed{F(n)=2T(n)+T(n-1)-n}
이다.
6. 평타를 산판에서 직접 추적한다
n=4를 예로 든다.
T(4)=10
T(3)=6
이다.
첫 첨타를 놓으면
10
이다.
둘째 첨타를 더한다.
10+10=20
이다.
작은 첨타를 더한다.
20+6=26
이다.
공유 셀 4개를 덜어 낸다.
26-4=22
이다.
| 상태 | 계산 | 값 | 산목 |
|---|---|---|---|
| 첫 첨타 | T(4) | 10 | 𝍠◯ |
| 둘째 첨타 추가 | 10+10 | 20 | 𝍡◯ |
| 작은 첨타 추가 | 20+6 | 26 | 𝍡𝍮 |
| 공유 셀 제거 | 26-4 | 22 | 𝍡𝍪 |
산판의 상태는
10\rightarrow20\rightarrow26\rightarrow22
로 변한다.
직접 층별로 세어도
4+5+6+7=22
이다.
따라서 두 계산은 일치한다.
7. 반 2q각형의 정의
이제 정 2q각형을 생각한다.
중심을 원점에 두고 외접반지름을 R이라 하자.
꼭짓점을
V_r=(x_r,y_r)
라 둔다.
각도는
\theta_r=\frac{\pi}{2}-\frac{r\pi}{q}
로 둔다.
그러면
x_r=R\cos\theta_r
이고,
y_r=R\sin\theta_r
이다.
r은
0,1,\ldots,2q-1
을 돈다.
수직 중심선
x=0
으로 정확하게 반분한다.
오른쪽 반다각형을 H_q라 하자.
\boxed{H_q=P_{2q}\cap\{x\ge0\}}
이다.
8. 반팔각형
q=4이면 정팔각형이다.
이 반팔각형 안에 들어오는 정삼각형 격자점만 취한다.
9. 반십각형
q=5이면 정십각형이다.
반십각형도 같은 방식으로 정삼각형 격자와 교차시킨다.
10. 반십이각형
q=6이면 정십이각형이다.
따라서 q가 증가할수록 반다각형 외곽에는 더 많은 선분이 생긴다.
그 선분의 변화점이 첨타 분해의 위치를 결정한다.
11. 반다각형을 정삼각형 격자에 놓는다
깊이 매개변수를 n이라 하자.
정다각형의 크기가 n과 함께 커지도록 외접반지름을
R_n=nh
로 둔다.
즉
R_n=\frac{\sqrt3}{2}n
이다.
그러면 수평 격자층은
y_j=hj
에 놓인다.
반다각형의 오른쪽 경계의 x좌표를
X_{q,n}(y)
라 하자.
j번째 층에서 격자점은
x=i+\frac j2
이므로 반다각형에 들어가기 위한 조건은
0\le i+\frac j2
및
i+\frac j2 \le X_{q,n}(hj)
이다.
따라서
i_{\min}(j)=\left\lceil-\frac j2\right\rceil
이고,
i_{\max}(j)=\left\lfloor X_{q,n}(hj)-\frac j2\right\rfloor
이다.
j번째 층의 셀 수를 w_{q,n}(j)라 하자.
w_{q,n}(j)=i_{\max}(j)-i_{\min}(j)+1
이다.
따라서 정확한 층폭은
i_{\max}(j)=\left\lfloor X_{q,n}(hj)-\frac j2\right\rfloor
이다.
해당 층이 다각형 바깥이면 w_{q,n}(j)=0으로 둔다.
12. 경계 위의 점도 포함한다
반다각형의 절단선이나 외곽선 위에 정확하게 놓이는 격자점은 포함한다.
따라서 경계 조건에는 등호가 들어간다.
예를 들어 직선이
f(x,y)=0
이면 내부를
f(x,y)\le0
으로 잡는다.
절단선의 양 끝점을 A, B라 하면 중앙점은
M=\frac{A+B}{2}
이다.
M이 격자점이면 그대로 남는다.
13. 각 다각형 변에서 경계 함수는 일차식이다
연속하는 두 꼭짓점을
V_r=(x_r,y_r)
및
V_{r+1}=(x_{r+1},y_{r+1})
라 하자.
기울기를
\lambda_r=\frac{x_{r+1}-x_r}{y_{r+1}-y_r}
라 둔다.
그러면 두 꼭짓점 사이의 경계는
X_r(y)=x_r+\lambda_r(y-y_r)
이다.
즉
\boxed{ X_r(y)=a_ry+b_r }
꼴이다.
각 변에서는 하나의 일차식이 적용되고, 꼭짓점을 지나면 다른 일차식으로 바뀐다.
따라서 층폭의 증가 규칙 역시 꼭짓점 부근에서 바뀐다.
14. 여러 층에서 실제 모양을 본다
반팔각형 안에 삼각격자를 겹치는 예를 그리면 다음과 같다.
같은 방법으로 반십각형에도 격자를 넣을 수 있다.
15. 정팔각형과 정십각형에서 바닥 함수가 생기는 이유
정삼각형 격자의 세 기본 방향은 서로 60^\circ씩 차이 난다.
그러나 정팔각형의 변은 45^\circ 간격으로 바뀐다.
정십각형에서는 36^\circ 간격으로 바뀐다.
따라서 다각형 경계가 매 층마다 정확하게 격자점을 통과하지 않는다.
어떤 층에서는 경계 바로 안쪽의 점까지 포함되고, 다음 층에서는 그 점이 경계 밖으로 나갈 수 있다.
그래서 정확한 셀 수에는
\lfloor x\rfloor
및
\lceil x\rceil
이 들어간다.
이는 정다각형과 삼각격자를 동시에 정확하게 유지했을 때 생기는 계산이다.
16. 반다각형 전체의 정확한 셀 수
반다각형에 포함되는 모든 층을 더한다.
층의 최솟값과 최댓값을 각각 j_-, j_+라 하자.
그러면
\boxed{P_q(n)=\sum_{j=j_-}^{j_+}w_{q,n}(j)}
이다.
즉 반팔각형도,
P_4(n)=\sum_jw_{4,n}(j)
반십각형도,
P_5(n)=\sum_jw_{5,n}(j)
반십이각형도,
P_6(n)=\sum_jw_{6,n}(j)
같은 방법으로 센다.
일반적으로
\boxed{P_q(n)=\sum_jw_{q,n}(j)}
이다.
17. 층폭에서 첨타를 찾아낸다
이제 층폭을 단순히 합하지 않고 산판에 놓는다.
상단에서 하단으로 내려가면서 층폭을
w_0,w_1,w_2,\ldots,w_N
이라 하자.
편의를 위해 층을 시작하기 전의 폭을
w_{-2}=w_{-1}=0
으로 둔다.
1차 계차를
d_r=w_r-w_{r-1}
라 하고, 따라서 d_{-1}=0으로 둔다.
다시 2차 계차를
\gamma_r=d_r-d_{r-1}
라 한다.
즉
\boxed{ \gamma_r=\Delta^2w_r }
이다.
\gamma_r는 그 층에서 폭의 증가법이 얼마나 바뀌었는지를 나타낸다.
18. 계차의 변화점과 다각형의 꼭짓점
하나의 다각형 변을 따라가는 동안 경계는 일차식이다.
따라서 같은 변 위에서는 폭의 증가 규칙이 같은 형태로 반복된다.
꼭짓점을 지나면 경계의 기울기가 바뀐다.
그 결과
d_r
의 패턴도 바뀐다.
따라서 큰 규모에서는
\boxed{ \text{꼭짓점} \longleftrightarrow \text{계차의 변화점} }
의 대응이 생긴다.
반팔각형은 반쪽 경계에 4개의 변을 갖기 때문에 큰 변화가 4개의 기하적 구간으로 나뉜다.
반십각형은 5개,
반십이각형은 6개이다.
여기서 q개라는 수는 반다각형 경계의 q개 선분이 만드는 큰 기하적 구간의 수를 뜻한다. 정다각형의 변이 정삼각형 격자의 방향과 맞지 않으면 바닥 함수와 천장 함수 때문에 한 구간 안에서도 작은 계차 변화가 더 생길 수 있다.
따라서 일반적으로 2차 계차의 0이 아닌 항이 정확히 q개라고 말하는 것은 아니다. 먼저 q개의 큰 기하적 첨타 성분을 잡고, 그 사이에서 생기는 작은 변화는 별도의 보정 첨타로 처리한다.
이것이 반 2q각형을 q개의 큰 첨타 성분과 격자 보정 성분으로 분해하는 출발점이 된다.
19. 중심선에 가까운 첨타가 더 작은 이유
바깥 경계부터 중심선 방향으로 분할을 진행한다고 하자.
r번째 분할점에서 중심선까지 남은 격자 깊이를
D_r
라 한다.
첫 분할은 바깥에서 일어나므로 남은 깊이가 크다.
그 다음 분할은 중심선에 더 가깝다.
따라서
D_1>D_2>D_3>\cdots
이다.
첨타의 셀 수는 깊이에 따라
T(D_r)=\frac{D_r(D_r+1)}2
이므로
T(D_1)>T(D_2)>T(D_3)>\cdots
가 된다.
즉 중심선 방향으로 갈수록 분리되는 첨타가 더 작아진다.
이 크기 순서는 별도의 가정이 아니라 중심선까지 남은 깊이로부터 정해진다.
20. 첨타 하나가 계차에 남기는 흔적
어떤 층에서 폭의 증가량이 새로 1만큼 생겼다고 하자.
그 뒤 남은 깊이가 D라면 추가되는 셀의 수는 층마다
1,2,3,\ldots,D
처럼 누적된다.
전체 추가량은
1+2+\cdots+D
이다.
따라서
\boxed{T(D)=\frac{D(D+1)}2}
이다.
즉 2차 계차에서 +1이 생긴 것은 새로운 첨타 하나가 시작된 것으로 읽을 수 있다.
+2라면 같은 깊이의 첨타 두 개,
+3라면 세 개이다.
21. 계차에서 첨타를 정확하게 복원한다
층의 수를 N+1개라 하자.
\gamma_r가 양수인 부분과 음수인 부분을 나눈다.
\gamma_r^+=\max(\gamma_r,0)
\gamma_r^-=\max(-\gamma_r,0)
이다.
r번째 변화 이후 남은 깊이를
D_r=N-r+1
이라 하자.
새로 생긴 첨타의 원합은
R=\sum_r\gamma_r^+T(D_r)
이다.
중복 또는 제거해야 할 첨타형 보정은
E=\sum_r\gamma_r^-T(D_r)
이다.
따라서 정확한 전체 수는
\boxed{ P=R-E }
이다.
즉
\boxed{P=\sum_r\gamma_rT(D_r)}
로도 쓸 수 있다.
이 식은 단순한 도형 해석이 아니라 계차의 이중 누적에서 바로 나온다.
먼저 d_{-1}=0이고
\gamma_r=d_r-d_{r-1}
이므로, 0\le k\le N에서
d_k=\sum_{r=0}^{k}\gamma_r
이다.
또한 w_{-1}=0이고
d_k=w_k-w_{k-1}
이므로 다시 누적하면
w_k=\sum_{s=0}^{k}d_s
이다.
앞의 식을 대입하면
w_k=\sum_{s=0}^{k}\sum_{r=0}^{s}\gamma_r
이다.
합의 순서를 바꾸면 하나의 \gamma_r는 r번째 층부터 k번째 층까지 모두 남으므로
\boxed{w_k=\sum_{r=0}^{k}(k-r+1)\gamma_r}
를 얻는다.
이제 전체 퇴타 수를
P=\sum_{k=0}^{N}w_k
라 두고 다시 대입한다.
P=\sum_{k=0}^{N}\sum_{r=0}^{k}(k-r+1)\gamma_r
합의 순서를 바꾸면
P=\sum_{r=0}^{N}\gamma_r\sum_{k=r}^{N}(k-r+1)
이다.
여기서
D_r=N-r+1
이므로 안쪽 합은
1+2+\cdots+D_r=T(D_r)
이다. 따라서
\boxed{P=\sum_{r=0}^{N}\gamma_rT(D_r)}
가 정확하게 성립한다.
이제 \gamma_r=\gamma_r^+-\gamma_r^-로 나누면
P=\sum_r\gamma_r^+T(D_r)-\sum_r\gamma_r^-T(D_r)=R-E
가 된다.
따라서 양의 2차 계차는 첨타를 더하는 항으로, 음의 2차 계차는 첨타형 보정을 덜어 내는 항으로 정확하게 읽을 수 있다. 기하적으로 실제 공유 셀을 제거하는 경우에는 이 음의 항이 중복 제거량과 대응하고, 일반적인 층폭 수열에서는 부호를 가진 첨타 보정으로 이해하면 된다.
이것은 임의의 유한 층폭 수열을 첨타의 가감으로 분해하는 정확한 식이다.
22. 산판에서의 첨타 분해
예를 들어 어떤 반다각형의 층폭이 다음과 같이 계산되었다고 하자.
| 층 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 원수 | 1 | 2 | 4 | 7 | 9 | 10 |
| 1차 계차 | - | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 |
| 2차 계차 | - | - | 1 | 1 | -1 | -1 |
이때 앞부분의
+1,+1
은 첨타가 차례로 시작되는 상태를 나타낸다.
뒤의
-1,-1
은 겹쳐 센 부분을 덜어 내는 상태를 나타낸다.
따라서 산판에서는 수를 곧바로 하나의 다항식으로 바꾸지 않고
\text{원수} \rightarrow \text{1차 계차} \rightarrow \text{2차 계차}
로 내려가서 첨타의 시작과 종료를 먼저 읽는다.
23. 공유 셀의 사용 횟수
첨타를
A_1,A_2,\ldots,A_m
이라 하자.
셀 c가 몇 개의 첨타에 포함되는지를
\mu(c)
라 한다.
즉
\mu(c)=\sum_{r=1}^{m}\mathbf{1}_{A_r}(c)
이다.
최종 다각형에서는 셀 하나가 한 번만 사용되어야 한다.
따라서 셀 c의 초과 사용량은
\mu(c)-1
이다.
전체 중복 제거량은
\boxed{E=\sum_{\mu(c)\ge2}[\mu(c)-1]}
이다.
이 식은 2중 공유뿐 아니라 3중, 4중 공유도 한꺼번에 처리한다.
24. 산가지로 중복 제거를 추적한다
예를 들어 첨타의 원합이 48이고 공유 셀의 초과 사용량이 차례로
5,3,2
라고 하자.
첫 제거는
48-5=43
이다.
둘째 제거는
43-3=40
이다.
셋째 제거는
40-2=38
이다.
| 상태 | 값 |
|---|---|
| 첨타 원합 | 48 |
| 첫 제거 후 | 43 |
| 둘째 제거 후 | 40 |
| 최종 | 38 |
이렇게 하면 최종값뿐 아니라 어느 단계에서 얼마를 제거했는지를 그대로 추적할 수 있다.
25. 반팔각형의 계산 절차
반팔각형에서는 먼저
w_{4,n}(j)
를 모든 층에서 계산한다.
그 값을 산판에 놓는다.
다음으로
\Delta w_{4,n}
을 계산한다.
다시
\Delta^2w_{4,n}
을 계산한다.
2차 계차의 큰 변화점을 이용해 반팔각형을 4개의 큰 기하적 첨타 성분으로 나눈다. 정확한 계차에서 그보다 작은 변화가 더 나타나면 격자 보정 첨타로 따로 남긴다.
중심선 방향으로 첨타를 배열하면 깊이는
D_1>D_2>D_3>D_4
의 순서가 된다.
격자 절단 때문에 생긴 작은 요동은 별도의 보정 첨타로 남긴다.
따라서
P_4(n)=R_4(n)-E_4(n)
으로 계산한다.
여기서
R_4(n)=\sum_r\gamma_{4,r}^+T(D_{4,r})
이고,
E_4(n)=\sum_r\gamma_{4,r}^-T(D_{4,r})
이다.
26. 반십각형의 계산 절차
반십각형도 같은 순서로 계산한다.
먼저
w_{5,n}(j)
를 구한다.
다음으로
\Delta w_{5,n}
및
\Delta^2w_{5,n}
을 구한다.
반십각형의 반쪽 경계에는 5개의 기하적 변이 있으므로 5개의 큰 기하적 첨타 성분이 나타난다. 다만 바닥 함수에서 생기는 작은 계차 변화까지 합쳐 정확히 5개의 항만 남는다는 뜻은 아니다.
중심선 쪽으로 갈수록
D_1>D_2>D_3>D_4>D_5
가 된다.
따라서
P_5(n)=R_5(n)-E_5(n)
이다.
27. 반십이각형의 계산 절차
q=6에서는 같은 방법으로
w_{6,n}(j)
를 계산한다.
기하적으로는 6개의 큰 첨타 성분이 생긴다. 격자 절단에서 추가되는 작은 변화는 별도의 보정 첨타로 처리한다.
깊이는
D_1>D_2>\cdots>D_6
이다.
따라서
P_6(n)=R_6(n)-E_6(n)
이다.
이제 q=4,5,6에서 모두 같은 계산 절차가 사용된다.
28. 일반적인 반 2q각형
일반적인 반 2q각형의 층폭을
w_{q,n}(j)
라 하자.
그 정확한 값은
\boxed{w_{q,n}(j)=i_{\max}(j)-i_{\min}(j)+1}
이다.
여기서
i_{\min}(j)=\left\lceil-\frac j2\right\rceil
이고,
i_{\max}(j)=\left\lfloor X_{q,n}(hj)-\frac j2\right\rfloor
이다.
전체 셀 수는
\boxed{P_q(n)=\sum_jw_{q,n}(j)}
이다.
첨타 분해로는
\boxed{P_q(n)=R_q(n)-E_q(n)}
이며,
R_q(n)=\sum_r\gamma_{q,r}^+T(D_{q,r})
이다.
또한
E_q(n)=\sum_r\gamma_{q,r}^-T(D_{q,r})
이다.
이 식은 반팔각형, 반십각형, 반십이각형뿐 아니라 임의의 반 2q각형에도 그대로 적용된다.
29. 일반화에서 실제로 일정한 것은 무엇인가
q가 달라져도 다음 계산은 변하지 않는다.
| 단계 | 계산 |
|---|---|
| 1 | 정 2q각형을 반분한다 |
| 2 | 삼각격자와 교차한다 |
| 3 | 층폭 w_{q,n}을 센다 |
| 4 | 1차 계차를 구한다 |
| 5 | 2차 계차를 구한다 |
| 6 | 첨타의 시작 위치를 읽는다 |
| 7 | 중심선까지 남은 깊이를 구한다 |
| 8 | 큰 첨타에서 작은 첨타 순으로 분해한다 |
| 9 | 공유 셀을 제거한다 |
| 10 | 전체 퇴타 수를 얻는다 |
따라서 일반화되는 것은 특정한 하나의 2차 다항식이 아니라 이 계산 절차 전체이다.
30. 격자 방향과 일치하는 경우
다각형의 변이 삼각격자의 방향과 정확히 일치하는 경우에는 바닥 함수의 변화가 단순해진다.
이때 첨타의 깊이가
D_r(n)=a_rn+b_r
꼴의 정수 일차식으로 정리될 수 있다.
그러면
T(D_r(n))
은 n에 대한 2차식이다.
따라서 전체 퇴타 수도 2차식으로 정리된다.
이 경우 2차 계차가 일정해진다.
31. 격자 방향과 일치하지 않는 경우
반팔각형과 반십각형처럼 경계 방향이 삼각격자와 맞지 않으면
D_r(n)
에 바닥 함수가 들어간다.
대표적으로
D_r(n)=\lfloor\alpha_rn+\beta_r\rfloor
꼴이 나타난다.
그러면 P_q(n)은 하나의 순수 2차 다항식보다는
\text{2차 성장} + \text{격자 보정}
의 형태를 가진다.
이를
P_q(n)=Q_q(n)+C_q(n)
이라 적을 수 있다.
Q_q(n)은 큰 규모의 퇴타를 나타내고,
C_q(n)은 경계가 격자점을 지나거나 비껴 가면서 생기는 보정 수열이다.
32. 바닥 함수의 상태를 산판에서 추적한다
예를 들어
d(n)=\lfloor\alpha n+\beta\rfloor
라 하자.
한 단계 증가량은
\delta(n)=d(n+1)-d(n)
이다.
\alpha가 0과 1 사이이면
\delta(n)\in\{0,1\}
이다.
즉 산판에는
0,1,0,1,1,0,\ldots
같은 이동 패턴이 나타난다.
이 패턴이 첨타 깊이가 어느 단계에서 하나 늘어나는지를 결정한다.
33. 연분수로 경계의 계차 패턴을 읽는다
\alpha를 연분수로 전개한다.
\alpha=[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots]
라 하자.
수렴분수를
\frac{p_r}{s_r}
라 한다.
그러면
\frac{p_r}{s_r} \rightarrow\alpha
이다.
수렴분수는 격자에서 경계선의 기울기를 가장 잘 근사하는 작은 정수 비를 차례로 제공한다.
따라서
\lfloor\alpha n+\beta\rfloor
의 증가 패턴을 분석할 때 연분수는 경계가 몇 층마다 새로운 격자점을 얻거나 잃는지를 설명하는 데 사용할 수 있다.
34. 반팔각형에서 나타나는 기울기
정팔각형에서는 45^\circ와 관련된 기울기가 나타난다.
반팔각형의 경계에는
\tan\frac{\pi}{8}
및
\tan\frac{3\pi}{8}
과 관련된 값이 들어간다.
잘 알려진 형태로
\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt2-1
이고,
\tan\frac{3\pi}{8}=\sqrt2+1
이다.
따라서 반팔각형의 격자 보정에는 \sqrt2 계통의 계차 패턴이 나타난다.
\sqrt2의 연분수는
\boxed{ \sqrt2=[1;2,2,2,\ldots] }
이다.
따라서 반팔각형의 격자 절단 패턴은 매우 규칙적인 반복 근사를 갖는다.
35. 반십각형에서 나타나는 기울기
정십각형에서는
36^\circ,\quad72^\circ
와 관련된 기울기가 나타난다.
따라서 반십각형의 경계 보정은
\tan36^\circ
및
\tan72^\circ
와 관련된다.
이 값들을 직접 소수로 바꾸어 버리기보다 정확한 대수적 값이나 연분수 근사를 사용하면 격자 절단의 반복 규칙을 추적할 수 있다.
즉 연분수는 퇴타 수를 신비적으로 해석하는 장치가 아니라, 정다각형의 비격자 기울기를 정수 격자 계산으로 바꾸기 위한 수치적 도구로 사용된다.
36. 천원술로 다항식 부분을 복원한다
여기서 천원술(天元術, 미지수를 세워 계수를 다루는 방법)을 사용한다.
어떤 퇴타 수열의 다항식 부분이 2차라고 판정되었다고 하자.
천원을 n으로 둔다.
Q(n)=An^2+Bn+C
로 놓는다.
2차 계차가 c라면
2A=c
이다.
따라서
A=\frac c2
이다.
먼저 평방위에 이 값을 놓는다.
| 자리 | 계수 |
|---|---|
| 태극 | |
| 천원 | |
| 평방 | \frac c2 |
그 다음 실제 1차 계차와 평방항이 만드는 계차의 차이를 구한다.
그 부족량을 천원위에 놓는다.
마지막으로 실제 첫 항과 현재 식의 첫 값의 차이를 태극에 놓는다.
즉 계산은
\text{2차 계차} \rightarrow \text{평방}
\text{1차 계차} \rightarrow \text{천원}
\text{첫 항} \rightarrow \text{태극}
의 순서로 진행된다.
37. 천원술 계산의 예
수열이
4,11,22,37,\ldots
이라고 하자.
1차 계차는
7,11,15,\ldots
이다.
2차 계차는
4,4,\ldots
이다.
| 상태 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 원수 | 4 | 11 | 22 | 37 |
| 1차 계차 | - | 7 | 11 | 15 |
| 2차 계차 | - | - | 4 | 4 |
2차 계차가 4이므로
2A=4
이다.
따라서
A=2
이다.
평방위에 2를 놓는다.
| 자리 | 계수 |
|---|---|
| 태극 | |
| 천원 | |
| 평방 | 2 |
n=2에서 n=3까지 2n^2의 계차는
18-8=10
이다.
실제 계차는 7이다.
따라서 천원위에는
7-10=-3
을 놓는다.
| 자리 | 계수 |
|---|---|
| 태극 | |
| 천원 | -3 |
| 평방 | 2 |
현재 식은
2n^2-3n
이다.
n=2에서 이 값은
8-6=2
이다.
실제 값은 4이므로 태극에
4-2=2
를 놓는다.
| 자리 | 계수 |
|---|---|
| 태극 | 2 |
| 천원 | -3 |
| 평방 | 2 |
따라서
\boxed{ Q(n)=2n^2-3n+2 }
이다.
이렇게 얻은 다항식과 실제 격자 퇴타의 차이를 다시 산판에 놓으면 경계 보정 수열 C(n)만 분리할 수 있다.
38. 원수와 보정 수열을 분리한다
정확한 수열을 P(n)이라 하고 천원술로 얻은 큰 규모의 다항식 부분을 Q(n)이라 하자.
그러면
C(n)=P(n)-Q(n)
이다.
산판에서는 다음처럼 놓을 수 있다.
| n | P(n) | Q(n) | C(n) |
|---|---|---|---|
| 1 | 실제값 | 다항식값 | 차 |
| 2 | 실제값 | 다항식값 | 차 |
| 3 | 실제값 | 다항식값 | 차 |
| 4 | 실제값 | 다항식값 | 차 |
이렇게 하면 퇴타의 큰 증가와 격자 경계에서 생기는 작은 요동을 별도로 추적할 수 있다.
39. 첨타의 생성함수
첨타 수열을 급수로 놓는다.
\mathcal T(z)=z+3z^2+6z^3+10z^4+\cdots
이다.
한 번 계차를 취하는 것과 같은 조작을 한다.
(1-z)\mathcal T(z)=z+2z^2+3z^3+4z^4+\cdots
이다.
다시 한 번 한다.
(1-z)^2\mathcal T(z)=z+z^2+z^3+\cdots
이다.
한 번 더 하면
(1-z)^3\mathcal T(z)=z
이다.
따라서
\boxed{\mathcal T(z)=\frac{z}{(1-z)^3}}
이다.
이 식은 산판에서 사용한 계차를 그대로 급수의 계수에 적용하여 얻는다.
40. 급수에서 계차와 누적
일반적인 급수를
A(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots
라 하자.
그러면
zA(z)=a_0z+a_1z^2+\cdots
이다.
따라서
(1-z)A(z)
의 계수는
a_0,\quad a_1-a_0,\quad a_2-a_1,\ldots
이 된다.
즉
\boxed{ \text{계차 1회} \longleftrightarrow 1-z }
이다.
반대로 누적합은
\boxed{ \text{누적 1회} \longleftrightarrow \frac1{1-z} }
에 대응한다.
따라서 산판에서의 가감과 급수에서의 곱셈은 같은 상태 변화를 서로 다른 표기로 나타낸다.
41. 일반 반다각형의 생성함수
전체 퇴타 수열을
P_q(1),P_q(2),P_q(3),\ldots
라 하자.
생성함수를
G_q(z)=\sum_{n\ge1}P_q(n)z^n
이라 한다.
첨타 원합을
R_q(n)
이라 하고 중복 및 격자 보정을
E_q(n)
이라 하면
P_q(n)=R_q(n)-E_q(n)
이다.
따라서 생성함수도
\boxed{G_q(z)=\mathcal R_q(z)-\mathcal E_q(z)}
로 분리된다.
여기서
\mathcal R_q(z)=\sum_{n\ge1}R_q(n)z^n
이고,
\mathcal E_q(z)=\sum_{n\ge1}E_q(n)z^n
이다.
42. 첨타 깊이가 일차식인 경우
어떤 첨타 깊이가
D(n)=an+b
인 정수 일차식이라고 하자.
그러면
T(D(n))
은 n에 대한 2차식이다.
따라서 그 생성함수의 분모는 최대
(1-z)^3
까지 올라간다.
여러 첨타를 더하고 빼더라도 모든 깊이가 정수 일차식이면 전체 생성함수는 유리함수로 정리된다.
이 경우 제법을 직접 적용할 수 있다.
43. 바닥 함수가 들어가는 경우의 급수
정팔각형이나 정십각형의 정확한 격자 절단에서는
D(n)=\lfloor\alpha n+\beta\rfloor
꼴이 나타날 수 있다.
이때 깊이 증가량을
\delta(n)=D(n+1)-D(n)
이라 한다.
\delta(n)의 배열은 \alpha의 연분수 근사와 밀접하게 연결된다.
따라서 정확한 급수는
\text{다항식 급수} + \text{경계 보정 급수}
로 나누어 다루는 것이 편하다.
즉
G_q(z)=G_q^{\mathrm{main}}(z)+G_q^{\mathrm{corr}}(z)
로 둔다.
44. 유한합
깊이 N까지의 누적 퇴타를
S_q(N)=\sum_{n=1}^{N}P_q(n)
이라 하자.
산판에서는
P_q(1)
을 놓고,
다음에는
P_q(1)+P_q(2)
를 놓는다.
다음에는
P_q(1)+P_q(2)+P_q(3)
을 놓는다.
이 과정을 반복한다.
생성함수에서는
\boxed{\mathcal S_q(z)=\frac{G_q(z)}{1-z}}
이다.
따라서 한 번 더 쌓는 계산과 한 번 누적하는 급수 조작이 정확하게 대응한다.
45. 제법으로 유리함수를 전개한다
여기서 제법(除法, 나눗셈)을 사용한다.
어떤 단계에서 생성함수가 유리함수
G(z)=\frac{N(z)}{D(z)}
로 정리되었다고 하자.
D(z)를 실(實, 피제식), N(z)를 법(法, 제식)으로 둔다.
첫 제법은
D(z)=Q_0(z)N(z)+R_1(z)
이다.
Q_0는 상(商, 몫), R_1은 여(餘, 나머지)이다.
다음 제법에서는 이전 법을 새 실로, 이전 여를 새 법으로 둔다.
N(z)=Q_1(z)R_1(z)+R_2(z)
이다.
다음에는
R_1(z)=Q_2(z)R_2(z)+R_3(z)
이다.
| 단계 | 실 | 법 | 상 | 여 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | D | N | Q_0 | R_1 |
| 2 | N | R_1 | Q_1 | R_2 |
| 3 | R_1 | R_2 | Q_2 | R_3 |
| 4 | R_2 | R_3 | Q_3 | R_4 |
상태는
(\text{실},\text{법}) \rightarrow (\text{법},\text{여})
로 반복된다.
46. 제법과 연분수
첫 제법에서
D=Q_0N+R_1
이므로
\frac{D}{N}=Q_0+\frac{R_1}{N}
이다.
역수를 취하면
\frac{N}{D}=\frac1{Q_0+\frac{R_1}{N}}
이다.
다음 제법은
N=Q_1R_1+R_2
이다.
따라서
\frac{R_1}{N}=\frac1{Q_1+\frac{R_2}{R_1}}
이다.
이를 계속 대입하면
\boxed{\frac{N}{D}=\cfrac{1}{Q_0+\cfrac{1}{Q_1+\cfrac{1}{Q_2+\cdots}}}}
을 얻는다.
연분수는 별개의 장식이 아니라 제법에서 나온 상과 여의 상태를 연속해서 기록한 것이다.
47. 비격자 경계에서는 연분수가 한 단계 먼저 쓰인다
정팔각형과 정십각형에서는 경계 기울기 자체가 격자 방향과 일치하지 않는다.
이 경우에는 생성함수를 제법하기 전에 먼저 경계 기울기를 연분수로 전개할 수 있다.
즉
\alpha=[a_0;a_1,a_2,\ldots]
에서 수렴분수
\frac{p_r}{s_r}
를 얻는다.
이 값으로 경계선을 근사하면 일정한 범위에서
\lfloor\alpha n+\beta\rfloor
의 계차를 정수 계산으로 추적할 수 있다.
따라서 이 문제에서는 연분수가 두 곳에 나타날 수 있다.
첫째는 격자와 맞지 않는 경계 기울기의 정수 근사이다.
둘째는 유리형 생성함수에 제법을 반복한 결과이다.
두 경우 모두 핵심 연산은 비율을 작은 정수 상태로 환원하여 반복 구조를 찾는 것이다.
48. 산판, 천원술, 급수의 연결
전체 계산을 산판의 관점에서 다시 정리하면 다음과 같다.
처음에는 실제 셀 수를 놓는다.
P(1),P(2),P(3),\ldots
계차를 취한다.
\Delta P(1),\Delta P(2),\ldots
다시 계차를 취한다.
\Delta^2P(1),\Delta^2P(2),\ldots
여기서 일정한 부분은 천원술로 다항식으로 복원한다.
남는 부분은 격자 경계 보정으로 따로 둔다.
급수에서는 같은 계산이
G(z)
(1-z)G(z)
(1-z)^2G(z)
로 바뀐다.
유리함수로 정리된 부분은 다시 제법한다.
따라서 계산 도구가 서로 끊어져 있지 않다.
49. 전체 계산의 역할
| 방법 | 역할 |
|---|---|
| 구고술 | 정삼각형 격자의 층 높이를 구한다 |
| 데카르트 좌표 | 격자점과 정다각형 경계를 대응시킨다 |
| 산가지 | 실제 값의 누적과 제거 상태를 추적한다 |
| 계차 | 새로운 첨타가 시작되는 위치를 찾는다 |
| 첨타 | 층폭 증가를 삼각형 단위로 분해한다 |
| 천원술 | 일정한 계차에서 다항식 부분을 복원한다 |
| 시그마 | 많은 층과 첨타를 압축하여 기록한다 |
| 연분수 | 비격자 기울기의 정수 반복 구조를 찾는다 |
| 생성함수 | 퇴타와 누적을 급수 연산으로 옮긴다 |
| 제법 | 유리함수의 상과 여를 반복해서 구한다 |
50. 일반 정리
정 2q각형을 중심선으로 반분하고, 그 반다각형을 정삼각형 격자에 놓는다.
j번째 층의 셀 수를 w_{q,n}(j)라 하자.
그러면 정확한 퇴타 수는
\boxed{P_q(n)=\sum_jw_{q,n}(j)}
이다.
층폭을 두 번 계차하여
\gamma_{q,r}=\Delta^2w_{q,n}(r)
를 얻는다.
r번째 변화 이후 남은 깊이를 D_{q,r}라 하면 첨타 분해는
\boxed{P_q(n)=\sum_r\gamma_{q,r}T(D_{q,r})}
로 나타낼 수 있다.
양의 부분과 음의 부분을 나누면
P_q(n)=R_q(n)-E_q(n)
이다.
여기서
\boxed{R_q(n)=\sum_r\gamma_{q,r}^+T(D_{q,r})}
이고,
\boxed{E_q(n)=\sum_r\gamma_{q,r}^-T(D_{q,r})}
이다.
중심선 방향으로 분할할수록 남은 깊이가 감소하므로 기본 첨타의 크기도 감소한다.
즉
D_1>D_2>\cdots>D_q
이고,
T(D_1)>T(D_2)>\cdots>T(D_q)
이다.
따라서 반팔각형은 4개의 큰 첨타 성분, 반십각형은 5개, 반십이각형은 6개, 일반 반 2q각형은 q개의 큰 기하적 첨타 성분으로 나뉜다. 여기서 q는 경계 선분이 만드는 큰 성분의 수이며, 2차 계차의 0이 아닌 항의 정확한 개수를 뜻하지 않는다.
격자의 절단에서 생기는 작은 변동은 계차에 별도의 보정 첨타로 나타나며 같은 가감법으로 처리한다.
51. 결론
의장일면첨타는
\boxed{ T(n)=\frac{n(n+1)}2 }
이라는 가장 기본적인 삼각 퇴타이다.
의장일면평타에서는 큰 첨타 두 개와 더 작은 중심 첨타 하나를 겹친 뒤 공유 셀을 덜어 내어 같은 결과를 얻을 수 있다.
반팔각형, 반십각형, 반십이각형에서는 먼저 정다각형을 정확하게 중심선으로 반분한다.
그 뒤 정삼각형 격자에서 각 층의 실제 폭을 센다.
층폭의 계차가 바뀌는 위치를 조사하면 새로운 첨타가 시작되는 위치를 알 수 있다.
중심선에 가까운 변화점일수록 남아 있는 깊이가 짧으므로 그곳에서 분리되는 첨타는 더 작다.
따라서 반 2q각형의 계산은
\boxed{ \text{다각형} \rightarrow \text{층폭} \rightarrow \text{계차} \rightarrow \text{첨타} }
에서 시작하고,
\boxed{ \text{첨타 원합} \rightarrow \text{공유 셀 제거} \rightarrow \text{산판 검산} }
으로 이어진다.
그 뒤 일정한 계차는 천원술로 복원하고, 격자 경계에서 생긴 보정 수열은 따로 추적한다.
급수에서는 산판의 계차가 (1-z)의 곱셈으로 바뀌고, 누적은 \frac1{1-z}의 곱셈으로 바뀐다.
비격자 경계의 기울기는 연분수로 정수 근사를 얻을 수 있고, 유리형으로 정리된 생성함수는 제법을 반복하여 다시 연분수로 전개할 수 있다.
따라서 전체 과정은
\boxed{ \text{구고술} \rightarrow \text{정삼각형 격자} \rightarrow \text{정다각형 반분} }
\boxed{ \rightarrow \text{산가지 계수} \rightarrow \text{계차} \rightarrow \text{첨타 분해} }
\boxed{ \rightarrow \text{천원술} \rightarrow \text{급수} \rightarrow \text{제법} }
으로 하나의 계산 체계를 이룬다.
이 일반화에서 중요한 것은 특정 다각형에 우연히 맞는 하나의 수식을 외우는 것이 아니라, 정 2q각형을 반분했을 때 중심선 방향으로 더 작은 첨타가 차례로 분리되는 구조를 계차로 찾아내고, 이를 산판에서 실제로 더하고 빼서 임의의 q까지 같은 방식으로 계산할 수 있다는 점이다.