가헌삼각을 첨타로 읽어 고차원 생성구조와 자기닮음까지 확장하기

《楊輝算法》의 가헌삼각(賈憲三角)은 다음과 같은 배열이다.

\begin{array}{ccccccccc} &&&&1\\ &&&1&&1\\ &&1&&2&&1\\ &1&&3&&3&&1\\ 1&&4&&6&&4&&1\\ &&&\vdots \end{array}

현대적인 표현으로는 이항계수의 배열이다. 그러나 여기서는 가헌삼각을 단순한 계수표로 보지 않는다.

가헌삼각의 한 행을 하나의 층으로 보고, 위층의 항들이 아래층의 항들을 생성하는 관계까지 구조에 포함한다. 그러면 가헌삼각 전체는 《九數略》의 첨타(尖垜)처럼 층이 누적되며 성장하는 하나의 이산 구조로 읽을 수 있다.

여기에서 세 가지 서로 다른 연산을 구분한다.

첫째, 가헌삼각의 두 생성방향을 세 방향, 네 방향, 다시 d개의 방향으로 늘리는 차원 확장이다.

둘째, 이미 만들어진 한 층을 여러 개 복사하여 서로 독립인 상태축에 놓고 값을 곱하는 곱합성이다.

셋째, 만들어진 상태들 가운데 구조적으로 같은 것과 값이 서로 역수인 것을 각각 묶고, 그 관계가 더 큰 범위에서도 반복되는지 조사하는 상태 분류다.

이 세 연산은 서로 다른 것이다. 이를 섞지 않고 각각 정의한 뒤 마지막에 다시 연결한다.

최종적으로는 다음 질문까지 답한다.

가헌삼각을 첨타로 읽어 얻은 차원 확장을 실제 공간에서 자기닮음으로 구현한다면, 그 집합의 프랙탈 차원은 얼마인가?

이를 위해 산목, 천원술, 다항계수, 군 작용, 그래프, 자기유사계, Hausdorff 차원을 차례로 사용한다. 각 개념은 필요한 자리에서 정의하고, 결과는 가능한 한 그 자리에서 직접 증명한다.

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산목 표기를 읽는 법

산목(算木)은 십진 위치기수법이다.

숫자의 크기는 산가지의 모양과 그 산가지가 놓인 자리를 함께 읽어 결정한다. 주산을 배운 적이 있다면 주판의 한 세로줄이 일의 자리, 다음 줄이 십의 자리, 그다음 줄이 백의 자리를 담당하는 것과 같은 원리로 생각하면 된다.

산목에서는 서로 이웃한 자리의 모양을 쉽게 구별하기 위하여 종식(縱式)과 횡식(橫式)을 번갈아 사용한다.

자리	자리값	형식
一	10^0	縱
十	10^1	橫
百	10^2	縱
千	10^3	橫
萬	10^4	縱
十萬	10^5	橫
百萬	10^6	縱

따라서

1,\quad100,\quad10000,\quad\ldots

의 자리에서는 종식을 쓰고,

10,\quad1000,\quad100000,\quad\ldots

의 자리에서는 횡식을 쓴다.

즉 자리의 방향은

\boxed{ 縱,\ 橫,\ 縱,\ 橫,\ldots }

으로 교차한다.

Unicode에 정의된 산목 숫자의 종식 1부터 9는 다음과 같다.

1  2  3  4  5  6  7  8  9
𝍠  𝍡  𝍢  𝍣  𝍤  𝍥  𝍦  𝍧  𝍨

횡식 1부터 9는 다음과 같다.

1  2  3  4  5  6  7  8  9
𝍩  𝍪  𝍫  𝍬  𝍭  𝍮  𝍯  𝍰  𝍱

예를 들어

61=6\cdot10+1

이므로 십의 자리 6은 횡식 𝍮, 일의 자리 1은 종식 𝍠이다.

十  一
𝍮  𝍠

따라서 61은

𝍮𝍠

로 쓴다.

마찬가지로

13=1\cdot10+3

은

𝍩𝍢

이고,

793=7\cdot100+9\cdot10+3

은

𝍦𝍱𝍢

이다.

0은 자리 자체가 없어진다는 뜻이 아니다. 해당 십진 자리가 비어 있다는 뜻이다.

예를 들어

304=3\cdot100+0\cdot10+4

는

百    十    一
𝍢           𝍣

처럼 읽는다.

따라서 산목에서는 빈 자리도 계산상태의 일부다.

4+1식 주판과의 관계

한 자리 안에서 6,7,8,9는

6=5+1,

7=5+2,

8=5+3,

9=5+4

의 구조를 가진다.

4+1식 주판에서도 윗알 하나가 5, 아랫알 네 개가 각각 1을 나타낸다. 따라서 주판에서 7을 윗알 하나와 아랫알 두 개, 즉 5+2로 읽었다면 산목의 한 자리도 비슷한 감각으로 읽을 수 있다.

다만 산목과 주판은 같은 도구는 아니다.

주판은 이미 정해진 자리축에 알을 붙였다 떼지만, 산목은 계산판 위에서 산가지 자체를 이동한다.

산목에서 산가지를 한 십진 자리 왼쪽으로 옮기면

10^k\longmapsto10^{k+1}

이므로 값이 10배가 된다.

반대로 한 자리 오른쪽으로 옮기면 1/10배가 된다.

따라서 산목에서는 자리 이동 그 자체가 연산이다.

5+2식 주판과의 관계

5+2식 주판은 아래알 다섯 개와 위알 두 개를 갖는다. 그래서 계산 도중 한 자리 안에 십진 정규형보다 많은 중간상태를 물리적으로 남길 수 있다.

그러나 계산을 십진수로 정리하면 여전히

10\cdot10^k=10^{k+1}

에 따라 다음 자리로 올린다.

산목도 같은 자리값 원리를 따른다.

주판에서 한 줄의 알을 정리하면서 다음 줄에 하나를 올리는 것과, 산목에서 한 자리를 이동시키는 것은 표현 방식은 달라도 같은 십진 위치기수법 위에 있다.

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元數, 實積, 法數

특정한 곱셈 하나의 진행상태를 볼 때에는 계산판을 위에서부터 元數(원수), 實積(실적), 法數(법수)로 읽는다.

元數


實積


法數

예를 들어

61\times13=793

을 계산하기 전에는

元數

𝍮𝍠


實積



法數

𝍩𝍢

이고, 계산을 마치면 가운데 實積에 𝍦𝍱𝍢가 남는다.

元數

𝍮𝍠


實積

𝍦𝍱𝍢


法數

𝍩𝍢

현대적인 순서 있는 상태로 옮기면

(元數,實積,法數) = (61,793,13)

이다.

곱셈의 교환법칙 때문에

61\cdot13=13\cdot61

이지만 계산판의 역할까지 포함하면

(61,793,13) \neq (13,793,61).

즉 결과값의 동일성과 계산상태의 동일성은 다르다.

이 구별은 뒤에서 실제로 필요해진다.

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문제

가헌삼각의 제 n층에 있는 각 항을 단순한 숫자가 아니라 위치, 값, 부모, 자식을 가진 하나의 상태로 본다.

먼저 다음을 구한다.

1. 가헌삼각 제 n층의 위치와 값.
2. 제 0층부터 제 N층까지 쌓았을 때의 전체 구조.
3. 생성방향을 세 개로 늘린 3차원 첨타의 위치와 값.
4. 이를 d개의 생성방향으로 늘린 일반형.
5. 제 n층의 상태 수.
6. 제 N층까지 누적한 상태 수.
7. 한 층에 놓인 모든 계수의 합.

그다음 가헌삼각 제4층

1,\quad4,\quad6,\quad4,\quad1

을 서로 독립인 두 상태축에 놓고 각 두 상태의 값을 곱한다.

그 결과에서 같은 값이 여러 위치에 나타나는 이유를 조사하고, 다음 두 기준으로 상태를 각각 묶는다.

첫 번째 기준은 완전 동일이다.

값만 같은 것이 아니라, 정해 둔 허용대칭으로 위치와 생성관계 전체를 서로 옮길 수 있어야 한다.

두 번째 기준은 역수 쌍이다.

양의 값 x에 대하여

x\longleftrightarrow\frac1x

를 하나의 대응으로 둔다.

이후 완전 동일 관계와 역수 관계를 동시에 기록한 관계그래프를 만들고, 작은 관계형이 더 큰 범위에서도 반복되는지를 엄밀하게 정의한다.

마지막으로 첨타의 차원 확장을 실제 Euclidean 공간의 자기유사 단체로 실현한다.

여기서 Euclidean 공간은 우리가 보통 길이와 거리를 재는 평면과 공간의 고차원 일반화다.

그 자기유사 집합에 대하여 Hausdorff 차원을 정의하고 실제 값을 구한다.

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1. 가헌삼각의 재귀식

제 n층 제 k항을

P_{n,k}

라 하자.

양 끝은 항상 1이므로

P_{n,0}=P_{n,n}=1

이다.

내부의 항은 바로 위의 두 부모를 더하여 얻는다.

따라서

\boxed{ P_{n,k} = P_{n-1,k-1} + P_{n-1,k} }

이다.

이 식이 이항계수와 일치함을 직접 보자.

이항계수는

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

이다.

한편

\binom{n-1}{k-1} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}

이고,

\binom{n-1}{k} = \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}

이다.

첫째 항을 공통분모에 맞추면

\binom{n-1}{k-1} = \frac{k(n-1)!}{k!(n-k)!}.

둘째 항도 공통분모에 맞추면

\binom{n-1}{k} = \frac{(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}.

따라서

\begin{aligned} \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} &= \frac{k(n-1)!+(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!} \\ &= \frac{n(n-1)!}{k!(n-k)!} \\ &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \\ &= \binom{n}{k}. \end{aligned}

그러므로

\boxed{ P_{n,k} = \binom{n}{k} }

이다.

제4층까지 산목으로 쓰면

        𝍠

     𝍠     𝍠

   𝍠   𝍡   𝍠

 𝍠   𝍢   𝍢   𝍠

𝍠   𝍣   𝍥   𝍣   𝍠

이다.

이제 가헌삼각을 숫자표가 아니라 유향 생성그래프로 읽을 수 있다.

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2. 천원 하나를 세워 층수를 나타낸다

층수를 아직 특정한 자연수로 고정하지 않는다.

立天元一，爲層數。

천원 하나를 세워 층수로 삼는다.

이 천원을 현대 표기로

n

이라 쓰자.

제 n층의 위치를 두 생성방향의 사용횟수

(a,b)

로 나타낸다.

첫째 방향을 a번, 둘째 방향을 b번 사용하여 제 n층에 도달하였다면 총 이동횟수는 n이므로

\boxed{ a+b=n }

이다.

따라서 제 n층의 위치집합은

\boxed{ L_{2,n} = \left\{ (a,b)\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{2} \;\middle|\; a+b=n \right\}. }

여기서 \mathbb{Z}_{\ge 0}은

0,1,2,3,\ldots

의 비음수 정수 집합이다.

제4층에서는

L_{2,4} = \left\{ (4,0),(3,1),(2,2),(1,3),(0,4) \right\}.

각 위치의 값은

w_2(a,b) = \frac{4!}{a!b!}

이므로

座       (4,0)   (3,1)   (2,2)   (1,3)   (0,4)

算木       𝍠       𝍣       𝍥       𝍣       𝍠

數         1        4        6        4        1

이다.

일반적인 제 n층에서는

\boxed{ w_2(a,b) = \frac{n!}{a!b!} }

이다.

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3. 왜 좌표 (a,b)의 값이 \frac{n!}{a!b!}인가

원점에서 (a,b)까지 이동하는 경로를 생각한다.

첫째 방향을 A, 둘째 방향을 B라 쓰자.

(a,b)에 도달하려면 길이 n의 문자열 안에

A

를 a개,

B

를 b개 놓아야 한다.

예를 들어

(a,b)=(3,2)

이면 가능한 경로 가운데 하나는

A A B A B

이다.

다른 하나는

B A A B A

이다.

총 n=a+b개의 이동을 모두 서로 다른 것으로 생각하면 순서는 n!개다.

그러나 A끼리는 서로 바꾸어도 같은 경로이며 그 중복이 a!개 있다.

B끼리도 마찬가지로 b!번 중복된다.

따라서 서로 다른 경로의 수는

\boxed{ \frac{n!}{a!b!} }

이다.

즉 가헌삼각의 수는 임의로 붙은 가중치가 아니다.

각 위치에 도달하는 서로 다른 생성경로의 수다.

이 해석은 바로 고차원으로 확장할 수 있다.

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4. 가헌삼각 전체를 첨타로 읽는다

고정된 제 n층만 보면

a+b=n

인 점들만 존재한다.

이들은 한 선분 위의 격자점을 이룬다.

그러나 제 0층부터 제 N층까지 한꺼번에 모으면

a+b\le N

이다.

따라서 누적 위치집합을

\boxed{ B_{2,N} = \left\{ (a,b)\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{2} \;\middle|\; a+b\le N \right\} }

으로 둔다.

제 n층에는

n+1

개의 점이 있다.

따라서 전체 점 수는

|B_{2,N}| = \sum_{n=0}^{N}(n+1).

이는

1+2+\cdots+(N+1)

이므로

|B_{2,N}| = \frac{(N+1)(N+2)}{2}.

이항계수로 쓰면

\boxed{ |B_{2,N}| = \binom{N+2}{2}. }

따라서 가헌삼각 전체는 삼각형 모양의 이산 첨타로 읽을 수 있다.

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5. 세 번째 생성방향을 추가한다

이제 생성방향을 세 개로 늘린다.

각 방향의 사용횟수를

(a,b,c)

라 하자.

제 n층에 있다면 총 이동횟수가 n이므로

\boxed{ a+b+c=n. }

따라서 제 n층의 위치집합은

\boxed{ L_{3,n} = \left\{ (a,b,c)\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{3} \;\middle|\; a+b+c=n \right\}. }

세 개의 기본 생성벡터를

\mathbf{e}_1=(1,0,0),

\mathbf{e}_2=(0,1,0),

\mathbf{e}_3=(0,0,1)

로 둔다.

상태

\mathbf{k}=(a,b,c)

에서 한 단계 뒤의 자식은

\mathbf{k}+\mathbf{e}_1,

\mathbf{k}+\mathbf{e}_2,

\mathbf{k}+\mathbf{e}_3

이다.

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6. 3방향 첨타의 계수를 경로로 구한다

(a,b,c)에 도달하는 경로는 길이 n의 이동열이다.

첫째 방향이 a회,

둘째 방향이 b회,

셋째 방향이 c회 나타난다.

총 이동은

a+b+c=n

회다.

모든 이동을 서로 구별하면 순서가 n!개 있다.

그러나 첫째 방향의 a회는 서로 바꾸어도 같은 이동열이므로 a!만큼 중복된다.

둘째 방향에서 b!, 셋째 방향에서 c!만큼 더 중복된다.

따라서

\boxed{ w_3(a,b,c) = \frac{n!}{a!b!c!}. }

이 수를 다항계수(multinomial coefficient)라고 한다.

다항계수는 이항계수의 직접적인 확장이다.

이항계수에서는 두 종류의 이동만 있었고, 다항계수에서는 세 종류 이상의 이동을 허용한다.

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7. 부모합 재귀식을 조합적으로 증명한다

현재 상태를

(a,b,c)

라 하자.

이 상태로 들어오는 마지막 이동은 반드시 다음 세 가지 가운데 하나다.

첫째 방향이 마지막이라면 직전 상태는

(a-1,b,c)

이다.

둘째 방향이 마지막이라면

(a,b-1,c)

이다.

셋째 방향이 마지막이라면

(a,b,c-1)

이다.

세 경우는 서로 겹치지 않는다.

또한 (a,b,c)에 도달하는 모든 경로는 반드시 이 세 경우 가운데 하나에 속한다.

따라서 경로 수는 세 집합의 크기의 합이다.

\boxed{ w_3(a,b,c) = w_3(a-1,b,c) + w_3(a,b-1,c) + w_3(a,b,c-1). }

이것이 가헌삼각의 두 부모 생성법을 세 부모로 확장한 것이다.

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8. 같은 재귀식을 대수적으로도 검산한다

앞서 얻은 닫힌식

w_3(a,b,c) = \frac{n!}{a!b!c!}

이 재귀식을 실제로 만족하는지 확인한다.

\begin{aligned} & w_3(a-1,b,c) + w_3(a,b-1,c) + w_3(a,b,c-1) \\ &= \frac{(n-1)!}{(a-1)!b!c!} + \frac{(n-1)!}{a!(b-1)!c!} + \frac{(n-1)!}{a!b!(c-1)!}. \end{aligned}

각 항을 공통분모

a!b!c!

로 맞추면

= \frac{(n-1)!}{a!b!c!}(a+b+c).

그런데

a+b+c=n

이므로

= \frac{n(n-1)!}{a!b!c!}.

따라서

= \frac{n!}{a!b!c!} = w_3(a,b,c).

즉 경로 분할에서 얻은 재귀식과 다항계수의 닫힌식이 정확히 일치한다.

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9. 생성다항식으로 세 번째 검산을 한다

세 변수 다항식

(x+y+z)^n

을 생각한다.

n개의 괄호

(x+y+z)

에서 각각 x, y, z 가운데 하나를 고른다.

x를 a번, y를 b번, z를 c번 고르면

x^ay^bz^c

를 얻는다.

이 선택순서의 수가

\frac{n!}{a!b!c!}

이므로

\boxed{ (x+y+z)^n = \sum_{\substack{ a,b,c\ge 0\\ a+b+c=n }} \frac{n!}{a!b!c!} x^ay^bz^c. }

따라서 세 표현이 같은 구조를 나타낸다.

\boxed{ \text{생성경로의 수} = \text{부모합 재귀} = \text{다항식의 계수}. }

예를 들어

(x+y+z)^3

은

\begin{aligned} (x+y+z)^3 ={}&x^3+y^3+z^3\\ &+3x^2y+3x^2z\\ &+3y^2x+3y^2z\\ &+3z^2x+3z^2y\\ &+6xyz. \end{aligned}

따라서 계수는

1   3   6
𝍠   𝍢   𝍥

의 세 종류가 나타난다.

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10. 3방향 제 n층의 위치 수

이제 계수의 크기가 아니라 서로 다른 위치의 수를 센다.

필요한 것은

a+b+c=n

의 비음수 정수해 개수다.

n개의 동일한 점을 세 구역으로 나눈다고 생각한다.

예를 들어

•• | ••• | •

는

(a,b,c)=(2,3,1)

을 뜻한다.

점이 n개이고 구분선이 두 개 있으므로 총

n+2

개의 기호를 배열한다.

그 가운데 구분선 두 개가 놓일 위치를 고르면 나머지는 모두 점이다.

따라서 경우의 수는

\binom{n+2}{2}

이다.

즉

\boxed{ |L_{3,n}| = \binom{n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}. }

이 방법을 stars and bars, 한국어로는 흔히 별과 막대라고 부른다.

이 이름보다 중요한 것은 하나의 총량을 여러 비음수 정수의 합으로 나누는 문제를 구분선 배치 문제로 바꾸었다는 점이다.

제4층에서는

|L_{3,4}| = \binom{6}{2} = 15

이다.

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11. 제 N층까지 쌓으면 사면체가 된다

제 0층부터 제 N층까지 모두 모은 위치집합은

\boxed{ B_{3,N} = \left\{ (a,b,c)\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{3} \;\middle|\; a+b+c\le N \right\}. }

고정된

a+b+c=n

은 삼각형 격자다.

n을 0에서 N까지 바꾸며 이 삼각형들을 층층이 쌓으면 사면체 격자가 된다.

전체 점 수를 구한다.

부등식

a+b+c\le N

에서 남는 양을

r=N-a-b-c

라 두자.

그러면

r\ge0

이고

a+b+c+r=N.

따라서 문제는 네 개의 비음수 정수의 합이 N이 되는 경우의 수로 바뀐다.

점 N개를 네 구역으로 나누려면 구분선 세 개가 필요하다.

총 기호 수는

N+3

이고 구분선 세 개의 위치를 고르면 된다.

따라서

\boxed{ |B_{3,N}| = \binom{N+3}{3}. }

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12. d개의 생성방향으로 일반화한다

생성방향의 수를 d라 하자.

상태를

\mathbf{k} = (k_1,k_2,\ldots,k_d)

로 쓴다.

제 n층에서는 총 n번 이동하므로

\boxed{ k_1+k_2+\cdots+k_d=n. }

따라서 제 n층의 상태집합은

\boxed{ L_{d,n} = \left\{ \mathbf{k}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{d} \;\middle|\; \sum_{i=1}^{d}k_i=n \right\}. }

각 상태의 값은 길이 n의 이동열 가운데 방향 i를 정확히 k_i번 사용하는 경우의 수다.

따라서

\boxed{ w_d(\mathbf{k}) = \frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_d!}. }

생성다항식은

\boxed{ F_{d,n}(x_1,\ldots,x_d) = (x_1+\cdots+x_d)^n. }

다항정리에 따라

\boxed{ F_{d,n}(x_1,\ldots,x_d) = \sum_{\substack{ k_1,\ldots,k_d\ge 0\\ k_1+\cdots+k_d=n }} \frac{n!}{k_1!\cdots k_d!} x_1^{k_1}\cdots x_d^{k_d}. }

이다.

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13. d방향 부모합 재귀식

상태

\mathbf{k}=(k_1,\ldots,k_d)

에 도달하는 경로의 마지막 이동을 본다.

마지막 이동이 방향 i였다면 직전 상태는

\mathbf{k}-\mathbf{e}_i

다.

마지막 방향은 1부터 d까지 정확히 하나이므로 경로들은 d개의 서로 겹치지 않는 집합으로 나뉜다.

따라서

\boxed{ w_d(\mathbf{k}) = \sum_{i=1}^{d} w_d\left(\mathbf{k}-\mathbf{e}_i\right). }

여기서 어떤 좌표가 음수가 되는 경우의 값은 0으로 둔다.

이 식은 처음의 가헌삼각

P_{n,k} = P_{n-1,k-1} + P_{n-1,k}

의 정확한 d방향 일반화다.

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14. d방향 제 n층의 상태 수

k_1+\cdots+k_d=n

의 비음수 정수해를 센다.

n개의 점을 d구역으로 나누려면 구분선이

d-1

개 필요하다.

따라서 총 기호 수는

n+d-1

개다.

그 가운데 d-1개의 구분선 위치를 고르면 되므로

\boxed{ |L_{d,n}| = \binom{n+d-1}{d-1}. }

또는 점의 위치를 고르는 식으로

\binom{n+d-1}{n}

이라고 써도 같다.

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15. d차원 누적 첨타의 상태 수

제 N층까지 쌓은 상태집합은

\boxed{ B_{d,N} = \left\{ \mathbf{k}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{d} \;\middle|\; \sum_{i=1}^{d}k_i\le N \right\}. }

다시 남는 양

r = N-\sum_{i=1}^{d}k_i

를 도입한다.

그러면

k_1+\cdots+k_d+r=N.

즉 d+1개의 비음수 정수의 합이 N이다.

따라서

\boxed{ |B_{d,N}| = \binom{N+d}{d}. }

이 하나의 식에

\binom{N+2}{2}, \qquad \binom{N+3}{3}

등이 모두 포함된다.

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16. 한 층의 모든 계수를 더한다

제 n층의 모든 계수의 합을

S_d(n) = \sum_{\mathbf{k}\in L_{d,n}} w_d(\mathbf{k})

라 하자.

각 w_d(\mathbf{k})는 특정 끝점에 도달하는 경로 수다.

모든 끝점에 도달하는 경로를 합치면 길이 n인 모든 방향 선택열을 세게 된다.

한 번 이동할 때마다 선택 가능한 방향은 d개다.

따라서 첫 이동부터 n번째 이동까지의 선택 수는

\underbrace{d\cdot d\cdots d}_{n\text{회}} = d^n.

따라서

\boxed{ S_d(n)=d^n. }

생성다항식에서도 확인된다.

F_{d,n}(1,\ldots,1) = (1+\cdots+1)^n = d^n.

가헌삼각 제4층에서는

1+4+6+4+1=16=2^4

이다.

산목으로는

𝍠 + 𝍣 + 𝍥 + 𝍣 + 𝍠 = 𝍩𝍥

이다.

---

17. 차원 하나를 추가하는 연산

d개의 생성방향을 가진 생성다항식은

F_{d,n} = (x_1+\cdots+x_d)^n

이다.

새로운 독립방향 x_{d+1}을 추가하면

F_{d+1,n} = (x_1+\cdots+x_d+x_{d+1})^n.

따라서 차원 확장 연산을 \mathcal{E}_d라 쓰면

\boxed{ \mathcal{E}_d\left(F_{d,n}\right) = F_{d+1,n}. }

상태에서도

(k_1,\ldots,k_d)

가

(k_1,\ldots,k_d,k_{d+1})

로 확장된다.

즉 여기서 차원 확장이란

\boxed{ \text{독립적으로 선택 가능한 생성방향 하나를 새로 추가하는 것} }

이다.

---

18. 제4층을 두 독립 상태축으로 합성한다

이제 차원 확장과는 별개의 연산을 정의한다.

가헌삼각 제4층을

p_0,p_1,p_2,p_3,p_4

라 하고

p_i=\binom{4}{i}

로 둔다.

따라서

p=(1,4,6,4,1).

산목으로는

𝍠   𝍣   𝍥   𝍣   𝍠

이다.

두 개의 독립된 복사본을 취한다.

첫 번째 복사본의 위치를 i,

두 번째 복사본의 위치를 j라 한다.

상태공간은

\boxed{ Q_2 = \{0,1,2,3,4\}^2. }

상태 수는

|Q_2|=5^2=25.

각 상태의 합성값을

\boxed{ W_2(i,j) = p_ip_j }

로 정의한다.

그러면 값표는

\begin{pmatrix} 1&4&6&4&1\\ 4&16&24&16&4\\ 6&24&36&24&6\\ 4&16&24&16&4\\ 1&4&6&4&1 \end{pmatrix}.

산목으로 쓰면

𝍠    𝍣    𝍥    𝍣    𝍠
𝍣    𝍩𝍥   𝍪𝍣   𝍩𝍥   𝍣
𝍥    𝍪𝍣   𝍫𝍥   𝍪𝍣   𝍥
𝍣    𝍩𝍥   𝍪𝍣   𝍩𝍥   𝍣
𝍠    𝍣    𝍥    𝍣    𝍠

이다.

여기서

𝍩𝍥 = 16
𝍪𝍣 = 24
𝍫𝍥 = 36

이다.

선형대수 표기로는 열벡터와 행벡터의 외적

A=p^{\mathsf{T}}p

로 쓸 수 있다.

---

19. 이 곱합성은 차원 확장과 다르다

둘을 구분해 두자.

차원 확장은

(x+y)^n \longrightarrow (x+y+z)^n

처럼 생성방향 자체를 하나 추가한다.

반면 곱합성은 이미 존재하는 상태 i,j를 고른 뒤

W_2(i,j)=p_ip_j

로 두 값을 곱한다.

따라서

L_{3,n}

과

Q_2

는 서로 다른 상태공간이다.

이 구별을 하지 않으면 뒤에서 대칭과 차원을 계산할 때 서로 다른 구조가 섞인다.

---

20. 같은 값이 같은 상태를 뜻하지 않는다

표에서

24

는 여러 번 나타난다.

대표적으로

4\cdot6=24

와

6\cdot4=24

가 있다.

따라서

W_2(1,2)=W_2(2,1)=24.

그러나 순서 있는 상태로는

(1,2)\neq(2,1).

실제 곱셈 계산판으로 펼치면 첫 상태는

元數

𝍣


實積

𝍪𝍣


法數

𝍥

이고,

두 번째는

元數

𝍥


實積

𝍪𝍣


法數

𝍣

이다.

따라서

\boxed{ \text{값이 같다} \not\Rightarrow \text{상태가 같다}. }

이제 무엇을 같은 상태로 인정할 것인지 명시해야 한다.

---

21. 제4층 자체의 대칭

제4층

p=(1,4,6,4,1)

은 중앙을 기준으로 좌우대칭이다.

인덱스에

r(i)=4-i

를 적용하면

p_{r(i)}=p_i

이다.

예를 들어

r(0)=4, \qquad r(1)=3, \qquad r(2)=2.

따라서

1_L\longleftrightarrow1_R,

4_L\longleftrightarrow4_R,

중앙 6은 자기 자신으로 간다.

이 반사는 값뿐 아니라 가헌삼각 전체의 부모와 자식 관계도 좌우로 뒤집어 보존한다.

---

22. 첨타 전체를 그래프로 정의한다

d방향 누적 첨타를 유향그래프로 만든다.

정점집합은

\boxed{ V_{d,N}=B_{d,N}. }

정점 \mathbf{k}에서

\mathbf{k}+\mathbf{e}_i

로 갈 수 있으면 간선을 둔다.

따라서 간선집합은

\boxed{ E_{d,N} = \left\{ \left(\mathbf{k},\mathbf{k}+\mathbf{e}_i\right) \;\middle|\; \mathbf{k}\in B_{d,N},\\ 1\le i\le d,\\ \sum_{j=1}^{d}k_j<N \right\}. }

이 그래프를

\boxed{ \Gamma_{d,N} = (V_{d,N},E_{d,N}) }

이라 하자.

각 정점 \mathbf{k}에는 값

w_d(\mathbf{k})

를 붙인다.

각 간선에는 방향 i를 붙인다.

따라서 이 구조에는 다음 정보가 모두 들어 있다.

• 현재 위치
• 현재 값
• 부모
• 자식
• 어느 방향으로 연결되었는가

---

23. 허용대칭군을 정의한다

d개의 생성방향에는 처음부터 고유한 이름이 붙어 있는 것이 아니다.

전체 구조를 함께 바꾸는 한, 방향 1과 방향 2의 이름을 서로 바꾸어도 같은 첨타다.

따라서 좌표의 모든 순열을 허용대칭으로 둔다.

d개의 좌표를 순열하는 모든 변환의 집합을

S_d

라고 한다.

이를 대칭군(symmetric group)이라고 부른다.

여기서 군(group)이란 다음 조건을 만족하는 변환의 집합이다.

1. 두 변환을 이어서 적용해도 같은 집합 안의 변환이 된다.
2. 아무것도 바꾸지 않는 항등변환이 있다.
3. 모든 변환에는 원상복구하는 역변환이 있다.
4. 변환의 합성에서 괄호의 위치는 결과를 바꾸지 않는다.

\sigma\in S_d가 상태에 작용하는 법을

\boxed{ \sigma\cdot (k_1,\ldots,k_d) = \left( k_{\sigma^{-1}(1)}, \ldots, k_{\sigma^{-1}(d)} \right) }

로 둔다.

쉽게 말하면 좌표의 이름을 한꺼번에 바꾸는 것이다.

간선방향 역시

i\longmapsto\sigma(i)

로 함께 바꾼다.

---

24. 좌표순열이 값을 보존함을 증명한다

상태의 값은

w_d(k_1,\ldots,k_d) = \frac{n!}{k_1!\cdots k_d!}

이다.

좌표를 순열하면 분모의 순서만 바뀐다.

k_1!\cdots k_d! = k_{\sigma(1)}!\cdots k_{\sigma(d)}!

이므로

\boxed{ w_d(\sigma\cdot\mathbf{k}) = w_d(\mathbf{k}). }

또 간선

\mathbf{k}\longrightarrow\mathbf{k}+\mathbf{e}_i

는

\sigma\cdot\mathbf{k} \longrightarrow \sigma\cdot\mathbf{k} + \mathbf{e}_{\sigma(i)}

로 옮겨진다.

따라서 좌표순열은 값뿐 아니라 생성관계 전체를 보존한다.

---

25. 완전 동일을 정의한다

두 상태

u,v\in L_{d,n}

에 대하여

\boxed{ u\sim_I v }

라고 함을 다음과 같이 정의한다.

어떤

\sigma\in S_d

가 존재하여

\sigma\cdot u=v

이면 두 상태를 완전 동일하다고 한다.

이는 값만 같다는 말보다 강하다.

같은 변환이 좌표와 부모, 자식, 생성방향까지 한꺼번에 옮긴다.

즉

\boxed{ \text{완전 동일} = \text{허용된 구조대칭 아래에서 같은 상태}. }

---

26. 완전 동일이 동치관계임을 증명한다

두 상태를 묶어 동치류를 만들려면 관계가 반사성, 대칭성, 추이성을 만족해야 한다.

반사성

아무 좌표도 바꾸지 않는 항등순열 e가 있다.

e\cdot u=u.

따라서

u\sim_Iu.

대칭성

u\sim_Iv

라 하자.

그러면 어떤 \sigma에 대하여

\sigma\cdot u=v

다.

모든 순열에는 역순열 \sigma^{-1}가 있으므로

\sigma^{-1}\cdot v=u.

따라서

v\sim_Iu.

추이성

u\sim_Iv, \qquad v\sim_Iw

라 하자.

그러면

\sigma\cdot u=v,

\tau\cdot v=w

인 순열 \sigma,\tau가 존재한다.

두 순열을 이어서 적용하면

(\tau\circ\sigma)\cdot u=w.

순열의 합성도 다시 순열이므로

u\sim_Iw.

따라서

\boxed{ \sim_I \text{는 동치관계다.} }

---

27. 가헌삼각 제4층의 완전 동일류

제4층은

(4,0), \quad (3,1), \quad (2,2), \quad (1,3), \quad (0,4)

이다.

S_2에는 좌표를 바꾸는 변환

(a,b)\longmapsto(b,a)

가 있다.

따라서

(4,0)\sim_I(0,4),

(3,1)\sim_I(1,3),

(2,2)\sim_I(2,2).

따라서 동치류는

\boxed{ \{(4,0),(0,4)\}, }

\boxed{ \{(3,1),(1,3)\}, }

\boxed{ \{(2,2)\}. }

값으로 쓰면

\boxed{ \{1_L,1_R\}, \qquad \{4_L,4_R\}, \qquad \{6\}. }

---

28. d방향 첨타의 완전 동일류와 정수분할

상태

(k_1,\ldots,k_d)

의 좌표를 큰 것부터 정렬한다.

같은 S_d 궤도 안에서는 정렬한 결과가 모두 같다.

따라서 각 궤도에는 유일하게

\lambda_1\ge \lambda_2\ge \cdots\ge \lambda_d\ge0

을 만족하는 대표가 있다.

또

\lambda_1+\cdots+\lambda_d=n.

0인 항을 제거하면 n을 양의 정수들의 합으로 나타낸 것이 된다.

이를 정수분할(integer partition)이라고 한다.

예를 들어 4의 정수분할은

4,

3+1,

2+2,

2+1+1,

1+1+1+1

이다.

d=3이면 부분을 세 개까지만 허용하므로 마지막

1+1+1+1

은 제외된다.

따라서 n=4,d=3의 완전 동일류는 네 개다.

일반적으로 부분의 수가 d 이하인 n의 정수분할 개수를

p_{\le d}(n)

라 쓰면

\boxed{ \left|L_{d,n}/S_d\right| = p_{\le d}(n). }

왜 일대일 대응인가

한 S_d 궤도를 잡으면 좌표를 내림차순으로 정렬하여 정수분할 하나를 얻는다.

반대로 길이가 d 이하인 정수분할 하나가 주어지면 뒤에 필요한 만큼 0을 붙여 d개의 좌표로 만든다.

두 과정은 서로 역과정이다.

따라서 단순히 수가 우연히 같은 것이 아니라 완전 동일류와 정수분할 사이에 실제 전단사가 있다.

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29. 곱합성 격자의 완전 동일을 따로 정의한다

앞의 첨타와 곱합성 격자는 다른 상태공간이므로 대칭도 따로 정한다.

제4층의 인덱스집합을

I=\{0,1,2,3,4\}

라 하자.

중앙은 2다.

중앙에 대한 거리를

\rho(i)=|i-2|

로 정의하면 가능한 값은

0,\quad1,\quad2

이다.

각각

\rho(i)=0 \iff p_i=6,

\rho(i)=1 \iff p_i=4,

\rho(i)=2 \iff p_i=1

이다.

곱합성 상태는

(i,j)\in Q_2=I^2

이다.

각 축을 중앙에서 반사할 수 있다.

(i,j)\longmapsto(4-i,j),

(i,j)\longmapsto(i,4-j).

또 두 독립축에 별도의 역할을 부여하지 않았다면 축 자체도 맞바꿀 수 있다.

(i,j)\longmapsto(j,i).

이 세 변환으로 생성되는 대칭들은 정사각형의 대칭 8개와 같다.

이를 D_4라고 쓴다.

D_4는 정사각형의 회전과 반사를 모두 모은 대칭군이다.

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30. 5\times5 곱격자의 완전 동일류를 전부 구한다

반사는

i

를

4-i

로 바꾸므로 중앙거리 \rho(i)는 변하지 않는다.

축 교환은 두 거리의 순서만 바꾼다.

따라서 상태 (i,j)의 완전 동일형은

\{\rho(i),\rho(j)\}

라는 순서 없는 두 거리로 완전히 결정된다.

가능한 경우는

(0,0),

(0,1),

(0,2),

(1,1),

(1,2),

(2,2)

의 여섯 가지다.

각 경우의 값과 상태 수를 구해 보자.

거리형	값	상태 수
(0,0)	6\cdot6=36	1
(0,1)	6\cdot4=24	4
(0,2)	6\cdot1=6	4
(1,1)	4\cdot4=16	4
(1,2)	4\cdot1=4	8
(2,2)	1\cdot1=1	4

합하면

1+4+4+4+8+4=25

로 전체 상태 수와 정확히 같다.

따라서 5\times5 합성표의 25개 위치는 완전 동일 기준으로 정확히 6개의 구조형으로 분해된다.

---

31. 왜 이 여섯 구조형의 값은 서로 다른가

여섯 값은

1,\quad4,\quad6,\quad16,\quad24,\quad36

이다.

각 값은

4^a6^b

의 형태로 쓸 수 있다.

4^a6^b = 2^{2a+b}3^b.

서로 다른 두 쌍 (a,b)와 (a',b')가 같은 값을 만든다고 가정하자.

4^a6^b = 4^{a'}6^{b'}.

소인수 3의 지수를 비교하면

b=b'

이다.

그러면 소인수 2의 지수를 비교하여

2a+b=2a'+b

이므로

a=a'.

따라서

\boxed{ 4^a6^b=4^{a'}6^{b'} \Longrightarrow (a,b)=(a',b'). }

즉 이 구조에서는 4와 6의 사용횟수가 다르면 값도 반드시 다르다.

---

32. m개의 독립 복사본으로 확장한다

이번에는 제4층을 m개 복사한다.

상태공간은

\boxed{ Q_m=I^m }

이다.

상태를

\mathbf{i}=(i_1,\ldots,i_m)

라 하자.

합성값은

\boxed{ W_m(\mathbf{i}) = \prod_{r=1}^{m}p_{i_r}. }

각 좌표는 중앙거리

\rho(i_r)\in\{0,1,2\}

를 갖는다.

m개 좌표 가운데

• 중앙거리 0인 좌표의 수를 c_0,
• 중앙거리 1인 좌표의 수를 c_1,
• 중앙거리 2인 좌표의 수를 c_2

라 하자.

그러면

c_0+c_1+c_2=m.

각 거리형의 값은 각각 6,4,1이므로

\boxed{ W_m = 6^{c_0}4^{c_1}. }

---

33. m중 곱합성에서 완전 동일의 대칭군

각 좌표축은 독립적으로 반사할 수 있다.

즉 각 좌표에서

i_r\longmapsto4-i_r

를 선택적으로 적용할 수 있다.

또 m개의 독립축에 별도의 이름이나 역할이 없다면 좌표축 순서도 임의로 바꿀 수 있다.

따라서 허용대칭은

\boxed{ G_m = (C_2)^m\rtimes S_m }

으로 쓸 수 있다.

이 기호를 풀어 읽으면 어렵지 않다.

C_2는 두 상태만 있는 대칭, 즉

\{\text{그대로},\text{반사}\}

다.

(C_2)^m은 각 축에 대해 반사 여부를 독립적으로 고른다는 뜻이다.

S_m은 m개의 축을 서로 순열한다.

기호 \rtimes는 두 종류의 대칭을 함께 사용하되 축 순열이 각 축의 반사 위치도 함께 바꾼다는 것을 기록한다.

---

34. m중 곱합성의 완전 동일류

반사를 하면 각 좌표의 중앙거리

\rho(i_r)

는 변하지 않는다.

좌표축을 순열하면 거리들의 순서만 바뀐다.

따라서 완전 동일류는 정확히

(c_0,c_1,c_2)

로 결정된다.

반대로 (c_0,c_1,c_2)가 같은 두 상태가 있다고 하자.

먼저 축 순열로 거리 0, 거리 1, 거리 2인 좌표들을 같은 위치에 정렬한다.

그다음 각 좌표의 좌우가 다르면 필요한 축만 반사한다.

그러면 두 상태가 정확히 일치한다.

따라서

\boxed{ \text{완전 동일류} \longleftrightarrow (c_0,c_1,c_2), \qquad c_0+c_1+c_2=m }

이라는 일대일 대응이 성립한다.

---

35. m중 곱합성의 완전 동일류 개수

필요한 것은

c_0+c_1+c_2=m

의 비음수 정수해 수다.

앞에서 사용한 별과 막대를 다시 적용하면

\boxed{ \#\text{완전 동일류} = \binom{m+2}{2}. }

이다.

m=2이면

\binom{4}{2}=6

으로 앞의 여섯 구조형과 일치한다.

---

36. 각 완전 동일류에 몇 개의 원래 상태가 들어가는가

(c_0,c_1,c_2)가 주어졌다고 하자.

먼저 m개의 축 가운데 어느 축이 어떤 거리형인지 정한다.

그 방법의 수는 다항계수

\frac{m!}{c_0!c_1!c_2!}

이다.

거리 0인 좌표는 중앙 하나뿐이므로 선택이 한 가지다.

거리 1인 좌표는 중앙의 왼쪽과 오른쪽 두 위치 가운데 하나를 고를 수 있으므로 각 축마다 2가지다.

거리 2도 마찬가지로 두 끝 가운데 하나를 고를 수 있으므로 각 축마다 2가지다.

따라서 한 완전 동일류에 들어가는 실제 상태 수는

\boxed{ M(c_0,c_1,c_2) = \frac{m!}{c_0!c_1!c_2!} 2^{c_1+c_2}. }

이다.

m=2에 대입하면 앞의

1,4,4,4,8,4

가 그대로 나온다.

---

37. 같은 결과를 생성함수로 다시 확인한다

한 개의 제4층 복사본에는

• 값 1인 위치가 2개,
• 값 4인 위치가 2개,
• 값 6인 위치가 1개

있다.

이를 형식변수 X,Y로 표시하여

\boxed{ \Phi(X,Y)=2+2X+Y }

라 두자.

여기서

• 상수항 2는 값 1의 두 위치,
• 2X는 값 4의 두 위치,
• Y는 값 6의 한 위치

를 뜻한다.

m개의 독립 복사본을 취하면

\boxed{ \Phi(X,Y)^m = (2+2X+Y)^m. }

이 다항식에서

X^{c_1}Y^{c_0}

의 계수는

\frac{m!}{c_0!c_1!c_2!} 2^{c_1+c_2}

이다.

즉 앞에서 직접 센 완전 동일류의 크기와 정확히 같다.

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38. 역할을 붙이면 완전 동일의 기준이 바뀐다

곱합성 Q_2에서는 두 축에 별도 역할을 부여하지 않았기 때문에

(i,j)\longmapsto(j,i)

를 허용대칭으로 쓸 수 있었다.

그러나 특정 상태를 元數, 法數의 곱셈으로 읽으면 상황이 달라진다.

(4,24,6)

에서 4는 元數이고 6은 法數다.

반면

(6,24,4)

에서는 역할이 반대다.

계산역할을 상태의 일부로 정의하였다면

元數\longleftrightarrow法數

를 하는 변환은 허용대칭이 아니다.

따라서

\boxed{ (4,24,6) \not\sim_I (6,24,4). }

이다.

이것은 모순이 아니다.

상태공간을 다르게 정의하면 허용대칭군도 달라진다.

즉 완전 동일을 말하기 전에 반드시 무엇을 상태에 포함하는지를 먼저 고정해야 한다.

---

39. 두 번째 그루핑: 역수 쌍

이번에는 구조를 비교하지 않는다.

값에 다음 연산을 적용한다.

\boxed{ R:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}, \qquad R(x)=x^{-1}. }

두 번 적용하면

R(R(x)) = R\left(x^{-1}\right) = x.

따라서

\boxed{ R^2=\operatorname{id}. }

이처럼 같은 연산을 두 번 적용하면 원래 상태로 돌아오는 변환을 대합(involution)이라고 한다.

따라서 각 값은

\boxed{ \operatorname{Orb}_R(x) = \left\{ x,x^{-1} \right\} }

이라는 역수 궤도를 가진다.

예를 들어

4\longleftrightarrow\frac14,

6\longleftrightarrow\frac16,

24\longleftrightarrow\frac1{24},

36\longleftrightarrow\frac1{36}.

1은

1^{-1}=1

이므로 자기 자신과 대응한다.

---

40. 역수 그루핑을 동치관계로 만든다

양의 값들의 집합 \widehat{W}가 역수에 대해 닫혀 있다고 하자.

즉

x\in\widehat{W} \Longrightarrow x^{-1}\in\widehat{W}.

관계를

\boxed{ x\sim_R y \iff y\in\left\{x,x^{-1}\right\} }

로 정의한다.

반사성은 자명하다.

x\in\{x,x^{-1}\}.

대칭성은

y=x^{-1}

이면

x=y^{-1}

이므로 성립한다.

추이성도 확인할 수 있다.

x\sim_Ry와 y\sim_Rz라면 각 단계에서 할 수 있는 것은 항등변환 또는 역수변환뿐이다.

두 변환을 합성하면 다시 항등변환 또는 역수변환이다.

따라서

x\sim_Rz.

그러므로

\boxed{ \sim_R \text{도 동치관계다.} }

각 동치류는 보통

\{x,x^{-1}\}

이며 x=1인 경우에는 한 원소만 갖는다.

---

41. 원래 첨타와 역수 확장공간을 구분한다

원래 가헌삼각이나 첨타에는

\frac14, \quad \frac16

이 계수로 나타나는 것이 아니다.

따라서 원래 값집합을

W

라 하고, 역수까지 포함한 값공간을 새로

\boxed{ \widehat{W} = W\cup W^{-1}, }

\boxed{ W^{-1} = \left\{ x^{-1} \;\middle|\; x\in W \right\}. }

로 둔다.

즉 역수 그루핑은 원래 첨타의 계수를 바꾸는 연산이 아니라, 원래 상태에 역수 상대를 붙여 만든 확장공간 위의 분류다.

---

42. 곱합성의 역수는 지수벡터의 부호반전이다

m중 곱합성에서 완전 동일류의 값은

W_m=6^{c_0}4^{c_1}

이었다.

역수를 취하면

W_m^{-1} = 6^{-c_0}4^{-c_1}.

따라서 지수쌍

(c_1,c_0)

을 사용하면 역수 연산은

\boxed{ (c_1,c_0) \longmapsto (-c_1,-c_0) }

로 나타난다.

즉 값에 대한 복잡해 보이는 역수 연산이 지수공간에서는 단순한 원점대칭이 된다.

---

43. 완전 동일과 역수는 서로 다른 축이다

완전 동일 관계 \sim_I는 상태공간의 대칭이 생성구조를 보존하는지 본다.

역수 관계 \sim_R는 값 x를 x^{-1}과 대응시킨다.

따라서 둘은 전혀 다른 질문이다.

\boxed{ \sim_I: \text{같은 구조인가} }

\boxed{ \sim_R: \text{값이 서로 역수인가} }

이다.

하나의 상태가 두 관계를 동시에 가질 수 있다.

예를 들어 좌우의 4는 완전 동일이고 각각은 자신의 1/4 상태와 역수관계다.

---

44. 두 관계를 하나의 관계그래프에 기록한다

상태들을 정점으로 두고 완전 동일 관계에는 I 간선을, 역수 관계에는 R 간선을 둔다.

전체를

\boxed{ \mathcal{G} = (V,E_I,E_R) }

라 하자.

이제 한 정점만 보는 대신 그 정점 주변의 관계까지 비교할 수 있다.

---

45. group과 supergroup의 뜻을 정확히 정의한다

여기서 사용하는 group은 추상대수학의 군을 뜻하지 않는다.

같은 관계형을 가진 상태들의 묶음을 편의상 group이라고 부른다.

이를 실제 수학적 대상으로 만들자.

정점 v를 중심으로 그래프거리 r 이하에 있는 모든 정점과 간선을 모은 부분그래프를

\boxed{ \mathcal{B}_r(v) }

라 하자.

그래프거리란 한 정점에서 다른 정점으로 갈 때 필요한 최소 간선 수다.

따라서

\mathcal{B}_0(v)

는 정점 v 하나만 포함한다.

\mathcal{B}_1(v)

는 v와 직접 연결된 이웃들까지 포함한다.

\mathcal{B}_2(v)

는 두 번 이내의 간선 이동으로 갈 수 있는 상태까지 포함한다.

이때 다음 정보를 모두 보존한다.

• 중심 정점이 어느 것인가
• 각 정점의 값 종류
• 원래값인지 역수값인지
• 계산역할이 있다면 그 역할
• 간선이 I인지 R인지

---

46. r단계의 같은 관계형

두 정점 v,w에 대하여

\boxed{ v\equiv_r w }

라고 함을 다음과 같이 정의한다.

\mathcal{B}_r(v)

와

\mathcal{B}_r(w)

사이에 중심을 중심으로 보내고, 정점표지와 간선종류를 모두 보존하는 그래프 동형이 존재하면

v\equiv_r w

라 한다.

그래프 동형(graph isomorphism)은 두 그래프의 정점 이름은 달라도 연결 방식이 완전히 같은 것을 뜻한다.

즉 r=0에서는 정점 자체의 정보만 비교한다.

r=1에서는 직접 연결된 완전 동일 상대와 역수 상대까지 비교한다.

r=2에서는 그 상대들의 상대까지 비교한다.

r이 커질수록 더 넓은 구조를 비교한다.

---

47. \equiv_r가 동치관계임을 증명한다

그래프 동형에는 항등동형이 있으므로

v\equiv_rv

이다.

동형사상에는 역함수가 있으므로

v\equiv_rw \Longrightarrow w\equiv_rv

이다.

두 그래프 동형을 합성하면 다시 그래프 동형이므로

v\equiv_rw, \qquad w\equiv_ru

이면

v\equiv_ru

이다.

따라서

\boxed{ \equiv_r \text{는 모든 }r\text{에 대해 동치관계다.} }

---

48. subgroup, group, supergroup

r단계 동치류를

\boxed{ [v]_r = \left\{ w\in V \;\middle|\; v\equiv_r w \right\} }

로 둔다.

낮은 r에서는 아주 가까운 관계만 비교한다.

높은 r에서는 더 넓은 주변구조까지 비교한다.

따라서 용어를 다음처럼 사용할 수 있다.

작은 범위의 관계형을 subgroup,

그것을 포함한 더 넓은 관계형을 group,

그보다 다시 넓은 관계형을 supergroup이라 부른다.

중요한 점은 크기만 보고 묶는 것이 아니라

\mathcal{B}_r(v)

라는 명시적인 관계범위를 사용한다는 것이다.

따라서 supergroup은 단순히 group을 몇 개 원으로 둘러싸 놓은 그림이 아니다.

더 큰 반경에서 본 관계그래프의 동형형이다.

---

49. 관계형의 자기닮음과 숫자의 반복은 다르다

같은 24가 여러 번 나타난다는 사실만으로 프랙탈이나 자기닮음이라고 할 수는 없다.

숫자 하나의 우연한 반복은 구조의 반복을 보장하지 않는다.

여기에서 반복되는 것은 가헌삼각과 d방향 첨타의 생성법이다.

\boxed{ w_d(\mathbf{k}) = \sum_{i=1}^{d} w_d\left(\mathbf{k}-\mathbf{e}_i\right) }

라는 부모합은 모든 층에서 같은 형태로 적용된다.

좌표순열 S_d도 모든 층에서 같은 방식으로 작용한다.

따라서 반복되는 것은

\boxed{ \text{여러 부모에서 합류하고 여러 자식으로 분기하는 관계형} }

이다.

이를 조합론적인 자기닮음이라고 부를 수 있다.

그러나 아직 Hausdorff 차원은 정의할 수 없다.

Hausdorff 차원에는 실제 거리가 필요하기 때문이다.

---

50. 조합론적 구조와 기하학적 프랙탈을 구분한다

첨타의 유향그래프

\Gamma_{d,N}

는 조합론적 대상이다.

정점과 간선은 있지만 두 정점 사이의 Euclidean 길이가 본질적으로 주어진 것은 아니다.

반면 프랙탈 차원은 공간에서 집합이 얼마나 조밀하게 퍼지는지를 재는 개념이다.

따라서 마지막 질문에 답하려면 조합론적 첨타를 실제 거리공간에 놓는 규칙을 먼저 정의해야 한다.

여기서는 첨타가 원래 갖고 있는 단체(simplex) 구조를 사용한다.

---

51. 단체란 무엇인가

단체(simplex)는 삼각형과 사면체를 고차원으로 일반화한 도형이다.

0차원 단체는 점이다.

1차원 단체는 선분이다.

2차원 단체는 삼각형이다.

3차원 단체는 사면체다.

일반적인 d차원 단체는 서로 독립인 d+1개의 꼭짓점의 볼록껍질이다.

볼록껍질이란 두 점을 잡아 그 사이의 선분을 모두 포함하도록 만든 가장 작은 볼록한 집합이다.

누적 첨타

B_{d,N} = \left\{ \mathbf{k}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{d} \;\middle|\; \sum_{i=1}^{d}k_i\le N \right\}

를 N으로 나누어 정규화하면

\left\{ \mathbf{x}\in\mathbb{R}_{\ge 0}^{d} \;\middle|\; \sum_{i=1}^{d}x_i\le1 \right\}

안에 놓인다.

이를

\boxed{ \Delta^d = \left\{ \mathbf{x}\in\mathbb{R}_{\ge 0}^{d} \;\middle|\; \sum_{i=1}^{d}x_i\le1 \right\} }

로 두자.

이것이 d차원 단체다.

---

52. 왜 꼭짓점이 d+1개인가

\Delta^d의 꼭짓점은

\mathbf{v}_0=(0,\ldots,0),

\mathbf{v}_1=(1,0,\ldots,0),

\mathbf{v}_2=(0,1,\ldots,0),

\ldots

\mathbf{v}_d=(0,\ldots,0,1)

이다.

즉 원점 하나와 각 좌표축의 단위점 d개, 총

d+1

개다.

d=2이면

(0,0),(1,0),(0,1)

의 세 꼭짓점으로 삼각형을 만든다.

d=3이면 네 꼭짓점으로 사면체를 만든다.

---

53. 자기닮음을 만드는 수축사상

각 꼭짓점 \mathbf{v}_i에 대해

\boxed{ f_i:\Delta^d\to\Delta^d, \qquad f_i(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x}+\mathbf{v}_i}{2}, \qquad 0\le i\le d }

를 정의한다.

이는 \mathbf{x}와 \mathbf{v}_i의 중점이다.

두 점 \mathbf{x},\mathbf{y} 사이의 거리가 어떻게 변하는지 계산해 보자.

\begin{aligned} \left\| f_i(\mathbf{x})-f_i(\mathbf{y}) \right\| &= \left\| \frac{\mathbf{x}+\mathbf{v}_i}{2} - \frac{\mathbf{y}+\mathbf{v}_i}{2} \right\| \\ &= \left\| \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{2} \right\| \\ &= \frac12 \left\| \mathbf{x}-\mathbf{y} \right\|. \end{aligned}

따라서 모든 거리가 정확히 절반으로 줄어든다.

이와 같이

\|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})\| \le r\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|, \qquad 0<r<1

을 만족하는 함수를 수축사상(contraction)이라고 한다.

현재는

r=\frac12

이다.

---

54. 반복함수계란 무엇인가

여러 수축사상을 한꺼번에 모아

\boxed{ \mathcal{F}_d = \{f_0,f_1,\ldots,f_d\} }

로 둔다.

이처럼 여러 수축사상을 반복하여 집합을 만드는 체계를 반복함수계(Iterated Function System, IFS)라고 한다.

처음에는 전체 단체를

K_d^{(0)}=\Delta^d

로 둔다.

다음 단계는

K_d^{(1)} = \bigcup_{i=0}^{d} f_i\left(K_d^{(0)}\right)

이다.

그다음은

K_d^{(2)} = \bigcup_{i=0}^{d} f_i\left(K_d^{(1)}\right)

이다.

일반적으로

\boxed{ K_d^{(m+1)} = \bigcup_{i=0}^{d} f_i\left(K_d^{(m)}\right). }

각 단계에서 모서리 근처의 절반 크기 단체들만 남는다.

또

K_d^{(m+1)} \subseteq K_d^{(m)}

이므로 집합들이 계속 줄어든다.

최종 집합을

\boxed{ K_d = \bigcap_{m=0}^{\infty} K_d^{(m)} }

로 정의한다.

이것이 최종 자기유사 집합이다.

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55. 최종 집합이 정말 자기 자신으로 이루어지는가

각 단계에서

K_d^{(m+1)} = \bigcup_{i=0}^{d} f_i\left(K_d^{(m)}\right)

였다.

최종 집합은 모든 단계에 남아 있는 점들의 집합이므로, 각 수축사상을 적용한 최종 집합들의 합집합과 다시 일치한다.

따라서

\boxed{ K_d = \bigcup_{i=0}^{d} f_i(K_d). }

즉 전체 K_d가 축척률 1/2인 자기 자신의 복사본

d+1

개로 이루어진다.

이것이 기하학적 의미의 자기유사(self-similar)다.

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56. d=2에서 실제로 그려 본다

d=2이면 단체는 삼각형이고 꼭짓점은 세 개다.

각 꼭짓점에 절반 크기의 삼각형을 남긴다.

이 과정을 반복하면 시에르핀스키 삼각형이 된다.

d=3에서는 사면체의 네 꼭짓점에 절반 크기의 사면체 네 개를 남긴다.

이를 시에르핀스키 사면체라고 부른다.

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57. 프랙탈 차원이 왜 정수가 아닐 수 있는가

선분의 길이를 절반으로 줄이면 같은 크기의 조각 두 개를 이어 원래 선분을 만들 수 있다.

따라서

2\left(\frac12\right)^1=1.

정사각형은 변 길이를 절반으로 줄인 정사각형 네 개로 나뉜다.

4\left(\frac12\right)^2=1.

정육면체는 변 길이를 절반으로 줄인 정육면체 여덟 개로 나뉜다.

8\left(\frac12\right)^3=1.

즉 보통 D차원 도형은 선형 크기를 r배 줄이면 D차원 크기가 대략

r^D

배가 된다.

자기유사 집합에서도 같은 원리를 이용하여 차원의 후보를 정할 수 있다.

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58. 자기유사 차원을 구한다

현재 집합은 자기 자신과 닮은 조각

d+1

개로 이루어지고 각 조각의 길이는 원래의

\frac12

이다.

차원을 D라 하면 한 조각의 D차원 크기는

\left(\frac12\right)^D

배다.

이런 조각이 d+1개 모여 다시 전체 크기가 되어야 하므로

(d+1) \left(\frac12\right)^D = 1.

따라서

2^D=d+1.

로그를 취하면

\boxed{ D=\log_2(d+1). }

이 값을 similarity dimension, 즉 자기유사 차원이라고 한다.

하지만 아직 이것만으로 실제 Hausdorff 차원이라고 단정하면 안 된다.

조각들이 서로 심하게 겹치면 실제 차원이 더 작아질 수 있기 때문이다.

이제 실제 Hausdorff 차원도 같은 값임을 확인한다.

---

59. Hausdorff 차원을 정의한다

어떤 집합 E를 매우 작은 집합들

U_1,U_2,\ldots

로 덮는다고 하자.

집합 U의 지름(diameter)을

\boxed{ \operatorname{diam}(U) = \sup \left\{ \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\| \;\middle|\; \mathbf{x},\mathbf{y}\in U \right\} }

로 정의한다.

즉 U 안에 있는 두 점 사이의 거리 가운데 가장 큰 값이다.

이제 s\ge0를 하나 정한다.

지름이 \delta보다 작은 집합들로 E를 덮는 모든 방법을 생각하고

\sum_{i=1}^{\infty} \left(\operatorname{diam}U_i\right)^s

를 계산한다.

그중 가능한 가장 작은 값을

\boxed{ \mathcal{H}_{\delta}^{s}(E) = \inf \left\{ \sum_{i=1}^{\infty} \left(\operatorname{diam}U_i\right)^s \;\middle|\; E\subseteq\bigcup_{i=1}^{\infty}U_i,\\ \operatorname{diam}U_i<\delta \right\} }

로 정의한다.

그다음

\delta\to0^+

으로 보내어

\boxed{ \mathcal{H}^{s}(E) = \lim_{\delta\to0^+} \mathcal{H}_{\delta}^{s}(E) }

를 정의한다.

이를 s차원 Hausdorff 측도라고 한다.

---

60. Hausdorff 차원의 의미

s가 너무 작으면 작은 조각의 크기를 s제곱한 값이 충분히 빨리 줄지 않으므로 필요한 조각들의 총합이 무한대로 커질 수 있다.

반대로 s가 너무 크면 작은 조각의 s제곱이 매우 빨리 작아져 총합이 0으로 내려간다.

따라서 어떤 임계값 D를 경계로

s<D \Longrightarrow \mathcal{H}^{s}(E)=\infty,

s>D \Longrightarrow \mathcal{H}^{s}(E)=0

가 되는 경우가 많다.

이 임계값을 Hausdorff 차원이라 한다.

\boxed{ \dim_{\mathrm H}E = \inf \left\{ s\ge0 \;\middle|\; \mathcal{H}^{s}(E)=0 \right\}. }

동치인 표현으로

\boxed{ \dim_{\mathrm H}E = \sup \left\{ s\ge0 \;\middle|\; \mathcal{H}^{s}(E)=\infty \right\}. }

라고 쓸 수 있다.

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61. Hausdorff 차원의 상한을 증명한다

앞에서 계산한 후보를

D=\log_2(d+1)

이라 하자.

m단계가 되면 자기유사 조각의 수는

(d+1)^m

개다.

각 조각의 선형 크기는

2^{-m}

배다.

원래 단체의 지름을

L=\operatorname{diam}(\Delta^d)

라 하면 각 m단계 조각의 지름은

L\,2^{-m}

이다.

따라서 K_d를 (d+1)^m개의 조각으로 덮으면

\sum_i \left(\operatorname{diam}U_i\right)^s = (d+1)^m \left(L\,2^{-m}\right)^s.

정리하면

= L^s \left( (d+1)2^{-s} \right)^m.

만약

s>D

라면

2^s>d+1

이므로

(d+1)2^{-s}<1.

따라서

m\to\infty

일 때

L^s \left( (d+1)2^{-s} \right)^m \to0.

그러므로

\mathcal{H}^{s}(K_d)=0

이다.

따라서

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_d \le D. }

---

62. 반대 부등식을 위해 질량을 균등하게 나눈다

이제

\dim_{\mathrm H}K_d \ge D

를 보여야 한다.

각 단계의 자기유사 조각에 확률질량을 균등하게 나눈다.

첫 단계의 d+1개 조각에는 각각

\frac1{d+1}

의 질량을 준다.

둘째 단계의 각 조각에는

\frac1{(d+1)^2}

를 준다.

일반적으로 m단계 조각 하나의 질량을

\boxed{ \mu(C) = (d+1)^{-m} }

으로 둔다.

그런데

D=\log_2(d+1)

이므로

d+1=2^D.

따라서

(d+1)^{-m} = 2^{-mD}.

즉 조각의 선형 크기가 2^{-m}일 때 질량은 정확히 그 D제곱 정도로 감소한다.

---

63. 질량분포 원리를 설명한다

다음 사실을 사용한다.

어떤 집합 E 위의 확률측도 \mu가 있고 충분히 작은 모든 r에 대해

\boxed{ \mu\left(B(\mathbf{x},r)\right) \le Cr^s }

를 만족한다고 하자.

여기서 B(\mathbf{x},r)은 중심 \mathbf{x}, 반지름 r인 공이다.

그러면

\dim_{\mathrm H}E\ge s

이다.

왜 그런지 직접 보자.

E를 작은 집합들 U_i로 덮는다.

각 U_i 안에서 점 \mathbf{x}_i 하나를 고르면 U_i 전체는 반지름

\operatorname{diam}(U_i)

인 공 안에 들어간다.

따라서

\mu(U_i) \le C\left(\operatorname{diam}U_i\right)^s.

U_i들이 E를 덮고 \mu(E)=1이므로

1 = \mu(E) \le \sum_i\mu(U_i).

따라서

1 \le C \sum_i \left(\operatorname{diam}U_i\right)^s.

즉 모든 덮개에 대해

\sum_i \left(\operatorname{diam}U_i\right)^s \ge \frac1C.

따라서

\mathcal{H}^{s}(E) \ge \frac1C > 0.

그러므로 Hausdorff 차원이 s보다 작을 수 없다.

이것이 질량분포 원리(mass distribution principle)다.

---

64. 우리 자기유사 단체가 질량분포 조건을 만족한다

반지름 r이 주어졌다고 하자.

m을

2^{-(m+1)} < r \le 2^{-m}

이 되도록 고른다.

m단계의 작은 단체 하나의 지름은 원래 지름의 2^{-m}배다.

서로 다른 m단계 단체의 내부는 겹치지 않는다.

또 모든 m단계 단체는 같은 모양이므로 각각 내부에 반지름

c_d\,2^{-m}

인 공 하나를 넣을 수 있다.

여기서 c_d>0는 차원 d에만 의존하는 상수다.

이 내부 공들은 서로 겹치지 않는다.

따라서 반지름이 r 정도인 공 하나가 만날 수 있는 m단계 단체의 수에는 차원에만 의존하는 일정한 상한

C_d

가 존재한다.

그러므로

\mu\left(B(\mathbf{x},r)\right) \le C_d(d+1)^{-m}.

앞에서

(d+1)^{-m} = 2^{-mD}

였고

r>2^{-(m+1)}

이므로

2^{-m}<2r.

따라서

2^{-mD} < 2^D r^D.

그러므로

\boxed{ \mu\left(B(\mathbf{x},r)\right) \le C_d2^D r^D. }

이다.

질량분포 원리를 적용하면

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_d \ge D. }

---

65. Hausdorff 차원이 정확히 결정된다

앞에서

\dim_{\mathrm H}K_d \le D

를 증명했고,

방금

\dim_{\mathrm H}K_d \ge D

를 증명했다.

따라서 두 부등식을 합치면

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_d = D. }

즉

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_d = \log_2(d+1). }

이제 이 값은 단순히 자기유사 그림을 보고 추측한 차원이 아니다.

Hausdorff 차원의 정의를 사용하여 상한과 하한을 모두 확인한 결과다.

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66. open set condition은 여기서 무엇을 뜻하는가

자기유사 집합을 다룰 때 흔히 open set condition이라는 용어가 나온다.

우리 구조에서는 직접 확인할 수 있다.

단체의 내부를

O=\operatorname{int}(\Delta^d)

라 하자.

각

f_i(O)

는 O 안에 들어간다.

또 서로 다른 두 복사본

f_i(O), \qquad f_j(O)

의 내부는 서로 만나지 않는다.

이를 단체의 barycentric coordinate로 확인할 수 있다.

barycentric coordinate는 단체 안의 점을 각 꼭짓점에 대한 가중치

(\lambda_0,\ldots,\lambda_d)

로 나타내는 방법이며

\lambda_i\ge0,

\lambda_0+\cdots+\lambda_d=1

을 만족한다.

f_i(O) 안의 점은 꼭짓점 i에 대한 좌표가

\lambda_i>\frac12

이다.

서로 다른 i,j에 대해 한 점이 동시에

\lambda_i>\frac12

및

\lambda_j>\frac12

를 만족할 수는 없다.

그러면

\lambda_i+\lambda_j>1

이 되어

\lambda_0+\cdots+\lambda_d=1

과 모순되기 때문이다.

따라서

f_i(O)\cap f_j(O)=\varnothing \qquad (i\neq j)

이다.

이처럼 자기유사 조각들을 서로 겹치지 않는 열린영역 안에 배치할 수 있다는 조건을 open set condition이라고 한다.

현재 구조는 이 조건을 만족한다.

앞에서 직접 상한과 하한을 증명했기 때문에 이 조건만으로 차원 계산을 대신할 필요는 없지만, 표준 자기유사 집합 이론에서도 같은 결론을 준다.

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67. 평면 가헌첨타의 프랙탈 차원

가헌삼각 전체를 첨타로 읽은 구조는

B_{2,N}

이므로 d=2다.

연속적인 단체는 삼각형이고 꼭짓점은

d+1=3

개다.

따라서 자기유사 집합은 절반 크기의 복사본 세 개로 이루어진다.

3\left(\frac12\right)^D=1.

따라서

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_2 = \log_2 3 \approx 1.5849625007. }

이것은 시에르핀스키 삼각형의 Hausdorff 차원이다.

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68. 가헌삼각을 3차원 첨타로 확장한 경우

생성방향을 세 개로 늘리면

d=3

이다.

누적 첨타는 사면체다.

사면체의 꼭짓점은

4

개다.

따라서 한 단계에서 절반 크기의 사면체 네 개가 남는다.

4\left(\frac12\right)^D=1.

그러므로

2^D=4

이고

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_3 = 2. }

즉 가헌삼각을 첨타로 읽은 뒤 실제 3차원 첨타로 올리고, 그 첨타의 차원 확장을 위에서 정의한 중점 자기유사계로 구현하면 Hausdorff 차원은 2다.

공간 안에 놓인 집합이므로 외재적으로는 3차원 공간에 있지만, 프랙탈 자체의 Hausdorff 차원은 2다.

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69. 4차원 이상에서는

d=4이면 자기유사 복사본은

5

개다.

따라서

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_4 = \log_2 5 \approx 2.3219280949. }

d=5이면

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_5 = \log_2 6 \approx 2.5849625007. }

일반적으로

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_d = \log_2(d+1). }

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70. 역수의 1/4, 1/6과 프랙탈의 1/2는 아무 관계가 없다

역수 그루핑에서는

4\longleftrightarrow\frac14,

6\longleftrightarrow\frac16

을 사용했다.

이는 값에 작용하는 대합

R(x)=x^{-1}

이다.

반면 프랙탈에서의

\frac12

은 공간에 작용하는 수축사상

f_i(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x}+\mathbf{v}_i}{2}

의 길이 축척률이다.

따라서

\boxed{ \frac14,\frac16: \text{값의 역수} }

이고

\boxed{ \frac12: \text{공간의 축척률} }

이다.

역수쌍에서 1/4이나 1/6이 나타났기 때문에 프랙탈 축척률이 1/2가 된 것이 아니다.

프랙탈의 1/2는 단체의 각 모서리를 중점에서 나누는 기하학적 실현을 정의했기 때문에 나온다.

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71. 무엇이 증명되었는가

가헌삼각은

\boxed{ P_{n,k} = \binom{n}{k} }

이고

\boxed{ P_{n,k} = P_{n-1,k-1} + P_{n-1,k} }

를 만족한다.

제 n층을 두 생성방향의 사용횟수로 쓰면

\boxed{ a+b=n }

이다.

각 항은 단순한 계수가 아니라 해당 상태에 도달하는 생성경로의 수이며

\boxed{ w_2(a,b) = \frac{n!}{a!b!}. }

제 0층부터 제 N층까지 쌓으면

\boxed{ B_{2,N} = \left\{ (a,b)\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{2} \;\middle|\; a+b\le N \right\} }

이고

\boxed{ |B_{2,N}| = \binom{N+2}{2}. }

생성방향을 세 개로 늘리면

\boxed{ a+b+c=n }

이고

\boxed{ w_3(a,b,c) = \frac{n!}{a!b!c!}. }

이 값은 경로 세기, 부모합 재귀, 다항정리라는 세 방식에서 모두 동일하게 나온다.

일반적인 d방향에서는

\boxed{ L_{d,n} = \left\{ \mathbf{k}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{d} \;\middle|\; \sum_{i=1}^{d}k_i=n \right\} }

이고

\boxed{ w_d(\mathbf{k}) = \frac{n!}{k_1!\cdots k_d!}. }

제 n층의 상태 수는

\boxed{ |L_{d,n}| = \binom{n+d-1}{d-1}, }

제 N층까지의 누적 상태 수는

\boxed{ |B_{d,N}| = \binom{N+d}{d}, }

한 층의 모든 계수합은

\boxed{ d^n }

이다.

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72. 두 종류의 확장도 구별되었다

차원 확장은

\boxed{ (x_1+\cdots+x_d)^n \longmapsto (x_1+\cdots+x_d+x_{d+1})^n }

이다.

이는 독립 생성방향 하나를 추가한다.

반면 제4층 곱합성은

\boxed{ W_m(i_1,\ldots,i_m) = \prod_{r=1}^{m}p_{i_r} }

이다.

이는 이미 존재하는 상태들을 독립 복사하여 값을 곱한다.

둘은 서로 다른 연산이다.

---

73. 제4층 곱합성의 완전 동일형도 전부 계산되었다

제4층

𝍠   𝍣   𝍥   𝍣   𝍠

의 두 독립 복사본에서는 25개의 상태가 생긴다.

대칭을 모두 고려하면 완전 동일형은

\boxed{ 6 }

개이며 각각의 값은

\boxed{ 1,\quad4,\quad6,\quad16,\quad24,\quad36. }

m개의 독립 복사본에서는 완전 동일형이

(c_0,c_1,c_2), \qquad c_0+c_1+c_2=m

와 일대일 대응하므로

\boxed{ \binom{m+2}{2} }

개다.

그 한 유형에 포함된 원래 상태 수는

\boxed{ \frac{m!}{c_0!c_1!c_2!} 2^{c_1+c_2}. }

이다.

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74. 완전 동일과 역수도 서로 분리되었다

완전 동일은 허용대칭이 위치와 생성구조를 보존하는지 묻는다.

첨타에서는 S_d의 궤도로 정의하였다.

\boxed{ u\sim_I v \iff \exists\sigma\in S_d \text{ such that } \sigma\cdot u=v. }

제 n층의 완전 동일류 수는 정수분할과 전단사를 이루어

\boxed{ p_{\le d}(n) }

개다.

역수는 값에 대한 대합

\boxed{ R(x)=x^{-1} }

으로 정의하였다.

따라서

\boxed{ x\sim_Rx^{-1}. }

두 분류는 서로 다른 관계다.

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75. group과 supergroup도 관계반경으로 정의되었다

상태 v 주변 반경 r의 관계그래프를

\mathcal{B}_r(v)

라 두었다.

두 상태가 반경 r까지 같은 표지와 같은 I,R 간선구조를 가지면

v\equiv_r w

라 정의하였다.

따라서 subgroup, group, supergroup은 단순한 그림의 크기가 아니라

\boxed{ \text{점점 더 큰 반경에서 본 관계그래프의 동형형} }

으로 읽을 수 있다.

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결론

처음에는

        𝍠

     𝍠     𝍠

   𝍠   𝍡   𝍠

 𝍠   𝍢   𝍢   𝍠

𝍠   𝍣   𝍥   𝍣   𝍠

라는 가헌삼각에서 출발했다.

각 항을 단순한 숫자가 아니라 생성경로의 수로 읽으면

\binom{n}{k}

는 두 방향으로 이루어진 경로 수가 된다.

생성방향을 하나 추가하면 다항계수

\frac{n!}{a!b!c!}

가 나타난다.

다시 d개의 방향으로 늘리면

\frac{n!}{k_1!\cdots k_d!}

가 된다.

이 과정은

\boxed{ \text{가헌삼각} \longrightarrow \text{평면 첨타} \longrightarrow \text{3차원 첨타} \longrightarrow \text{$d$차원 첨타} }

라는 정확한 차원 확장이다.

한편 특정 층을 여러 독립축에 복사하여 곱하면 별도의 곱상태 공간이 생긴다.

이 공간에서는 같은 값이 여러 상태에서 나타날 수 있으므로 값의 동일성과 상태의 동일성을 분리해야 한다.

완전 동일은 구조대칭의 궤도로, 역수는 값에 대한 대합으로 따로 정의된다.

그 관계를 더 큰 반경에서 반복해 비교하면 subgroup, group, supergroup에 해당하는 관계형의 계층을 얻는다.

마지막으로 조합론적 첨타를 실제 d차원 단체에 놓고 각 꼭짓점에 절반 크기의 자기 자신을 배치하면

\boxed{ K_d = \bigcup_{i=0}^{d} f_i(K_d), \qquad f_i(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x}+\mathbf{v}_i}{2} }

라는 자기유사 집합을 얻는다.

Hausdorff 차원의 정의에서 직접 상한과 하한을 계산하면

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_d = \log_2(d+1). }

따라서 가헌삼각 자체를 평면 첨타로 읽은 경우에는

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_2 = \log_2 3 \approx 1.5849625007 }

이고,

가헌삼각을 3차원 첨타로 확장한 뒤 같은 중점 자기유사 규칙을 적용한 경우에는

\boxed{ \dim_{\mathrm H}K_3 = 2. }

이 결론에서 2는 단순히 사면체가 3차원 공간에 놓였기 때문에 나온 수가 아니다.

절반 크기의 자기유사 사면체가 정확히 네 개이고,

4\left(\frac12\right)^D=1

을 만족하는 실제 Hausdorff 차원이

D=2

이기 때문에 나온다.