원전(圓箭)과 중심 육각수에서 복소평면과 미분으로의 확장

by gg582 · 2026-08-23 16:01:24 · 7 views

Table of contents

1. 원전(圓箭)의 구조와 조합론적 분석

최석정(崔錫鼎, 1646–1715) 《구수략(九數略)》의 원전(圓箭)은 화살을 육각형으로 묶는 육포일(六抱一) 배치를 다룬다. 중심 1개를 둘러싸는 6개의 화살, 그 바깥으로 6의 배수로 증가하는 고리 구조다.

\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth] % k=0 center \filldraw[black] (0,0) circle (4pt) node[below right=2pt] {\scriptsize $k=0$ ($1$)}; % k=1 (blue, 6 points and arrows) \foreach \a in {0,60,120,180,240,300} { \filldraw[blue] (\a:1.2) circle (3pt); \draw[->, thin, blue!60] (0,0) -- (\a:1.1); } \draw[dashed, blue!50] (0:1.2) -- (60:1.2) -- (120:1.2) -- (180:1.2) -- (240:1.2) -- (300:1.2) -- cycle; % k=2 (teal, 12 points and arrows) \foreach \a in {0,60,120,180,240,300} { \filldraw[teal] (\a:2.4) circle (3pt); \filldraw[teal] ({\a+30}:2.078) circle (3pt); \draw[->, thin, teal!60] (\a:1.2) -- (\a:2.3); } \draw[dashed, teal!50] (0:2.4) -- (30:2.078) -- (60:2.4) -- (90:2.078) -- (120:2.4) -- (150:2.078) -- (180:2.4) -- (210:2.078) -- (240:2.4) -- (270:2.078) -- (300:2.4) -- (330:2.078) -- cycle; % k=3 (purple, 18 points) \foreach \a in {0,60,120,180,240,300} { \filldraw[purple] (\a:3.6) circle (3pt); \filldraw[purple] ({\a+20}:3.32) circle (3pt); \filldraw[purple] ({\a+40}:3.32) circle (3pt); } \draw[dashed, purple!40] (0:3.6) -- (20:3.32) -- (40:3.32) -- (60:3.6) -- (80:3.32) -- (100:3.32) -- (120:3.6) -- (140:3.32) -- (160:3.32) -- (180:3.6) -- (200:3.32) -- (220:3.32) -- (240:3.6) -- (260:3.32) -- (280:3.32) -- (300:3.6) -- (320:3.32) -- (340:3.32) -- cycle; % bottom label \node[below, align=center] at (0,-3.9) {\footnotesize \textbf{3-Stage Expansion Lattice}\\\scriptsize $S_0=1$, $S_1=6$, $S_2=12$, $S_3=18$}; \end{tikzpicture}
  • 테두리 점들 간의 연결 조합: 6개 꼭짓점 중 2개를 택하면 _6C_2 = 15다.
  • '변'의 제한 조건: 기하학적 둘레 조건에 의해 인접한 점들 사이의 연결인 6개 모서리 묶음으로 제한된다.
  • 공유점 보정: k번째 고리의 변 하나에 (k+1)개의 점이 놓이면, 6변 합산 시 6(k+1)이나 각 꼭짓점이 인접 두 변에 중복되므로 6개를 뺀다. 6(k+1) - 6 = 6k \quad (k \geq 1)

2. 중심 육각수 총합 공식

각 단계별 점의 개수를 수열 S_k로 정의한다.

  • k=0: S_0 = 1
  • k=1: S_1 = 2 \times 6 - 6 = 6
  • k=2: S_2 = 3 \times 6 - 6 = 12
  • k=3: S_3 = 4 \times 6 - 6 = 18
  • k \geq 1: S_k = (k+1) \times 6 - 6 = 6k

n단계까지의 전체 점의 총합:

g(n) = \sum_{k=0}^{n} S_k = 1 + 6 \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 3n^2 + 3n + 1

  • g(0) = 1
  • g(1) = 7
  • g(2) = 19
  • g(100) = 30301

3. 《구수략》 원전의 감산법(減中數一)과 f(n)의 대칭성

《구수략》 원전 풀이법은 총수에서 "중심의 1을 먼저 빼고(先減中數一)" 외곽 배수 구조를 다룬다. 이 셈법에 따라 중심점을 제외한 순수 테두리 누적 함수를 f(n)으로 정의한다.

f(n) = g(n) - 1 = 3n^2 + 3n

\begin{tikzpicture}[scale=0.85] \begin{scope} \node at (0,0) {$\times$}; \node[below] at (0,-1.6) {\footnotesize center 1 subtracted ($n=1 \Rightarrow 6$)}; \foreach \a in {0,60,...,300} { \filldraw[blue] (\a:1.2) circle (2.5pt); } \draw[dashed, blue!40] (0:1.2) \foreach \a in {60,120,...,360} { -- (\a:1.2) }; \end{scope} \begin{scope}[xshift=6cm] \node at (0,0) {$\times$}; \node[below] at (0,-1.6) {\footnotesize center 1 subtracted ($n=2 \Rightarrow 18$)}; \foreach \a in {0,60,...,300} { \filldraw[blue!40] (\a:0.9) circle (2pt); \filldraw[teal] (\a:1.8) circle (2.5pt); \filldraw[teal] ({\a+30}:1.558) circle (2.5pt); } \draw[dashed, teal!40] (0:1.8) \foreach \a in {0,60,...,300} { -- ({\a+30}:1.558) -- ({\a+60}:1.8) }; \end{scope} \end{tikzpicture}

f(n)을 음의 정수 영역으로 확장하면 상수항이 제거되어 다음 대칭 관계가 나타난다.

  • f(0) = 0 \longleftrightarrow f(-1) = 0
  • f(1) = 6 \longleftrightarrow f(-2) = 6
  • f(2) = 18 \longleftrightarrow f(-3) = 18
  • f(3) = 36 \longleftrightarrow f(-4) = 36

대칭축 n = -\dfrac{1}{2}을 기준으로 다음 항등식이 성립한다.

\boxed{f(n) = f(-(n+1))}

4. 도함수 f'(n)의 기하학적 의미

f(n) = 3n^2 + 3n을 연속 변수로 미분한다.

f'(n) = 6n + 3

각 고리 k의 둘레는 S_k = 6k이므로, 도함수 값은 인접한 두 고리 둘레의 산술평균과 일치한다.

f'(n) = \frac{6n + 6(n+1)}{2} = \frac{S_n + S_{n+1}}{2} \quad (n \geq 1)

n S_n S_{n+1} \dfrac{S_n + S_{n+1}}{2} f'(n)
0 0 6 3 3
1 6 12 9 9
2 12 18 15 15
3 18 24 21 21

f'(n)은 n번째 테두리와 (n+1)번째 테두리 둘레(점 개수)의 산술평균이다.

5. 수 체계의 확장: 실수와 복소수

대칭 항등식 f(z) = f(-(z+1))은 모든 복소수 z \in \mathbb{C}에서 성립한다.

f(-(z+1)) = 3(-(z+1))^2 + 3(-(z+1)) = 3(z^2+2z+1) - 3z - 3 = 3z^2 + 3z = f(z)

  • 실수 예시 (z = 0.5): f(0.5) = 3(0.25) + 1.5 = 2.25, \quad f(-1.5) = 3(2.25) - 4.5 = 2.25

  • 복소수 예시 (z = i): f(i) = -3 + 3i, \quad f(-i-1) = -3 + 3i

6. 허수축 상의 궤적 및 도함수 매핑

허수축 위의 점 z = ki (k \in \mathbb{R})를 대입한다.

6.1 함수 f(ki)의 궤적

f(ki) = 3(ki)^2 + 3(ki) = -3k^2 + 3ki

실수부 X = -3k^2, 허수부 Y = 3k로 두면:

\boxed{X = -\frac{1}{3}Y^2}

\text{Re} \leq 0 방향으로 열린 포물선이다.

6.2 도함수 f'(ki)의 궤적

f'(ki) = 6(ki) + 3 = 3 + 6ki

실수부 X = 3, 허수부 Y = 6k로 두면:

\boxed{X = 3}

실수부가 +3으로 고정된 수직 직선이다.

\begin{tikzpicture}[scale=0.4, >=stealth] \draw[->, thick, gray] (-16,0) -- (6,0) node[right, black] {$\text{Re}$}; \draw[->, thick, gray] (0,-9) -- (0,9) node[above, black] {$\text{Im}$}; \node[below left] at (0,0) {$O$}; \foreach \x in {-15,-12,-9,-6,-3,3} \draw (\x, 0.15) -- (\x, -0.15) node[below, font=\scriptsize] {\x}; \foreach \y in {-9,-6,-3,3,6,9} \draw (0.15, \y) -- (-0.15, \y) node[right=2pt, font=\scriptsize] {\y$i$}; \draw[domain=-5:5, smooth, variable=\t, blue, thick] plot ({-3*(\t)^2}, {3*\t}); \node[blue, left] at (-12, 7) {$f(ki) = -3k^2 + 3ki$}; \filldraw[blue] (0,0) circle (2.5pt) node[below right=2pt, font=\scriptsize] {$f(0)=0$}; \filldraw[blue] (-3,3) circle (2.5pt) node[above left, font=\scriptsize] {$f(i)=-3+3i$}; \filldraw[blue] (-3,-3) circle (2.5pt) node[below left, font=\scriptsize] {$f(-i)=-3-3i$}; \filldraw[blue] (-12,6) circle (2.5pt) node[above left, font=\scriptsize] {$f(2i)=-12+6i$}; \filldraw[blue] (-12,-6) circle (2.5pt) node[below left, font=\scriptsize] {$f(-2i)=-12-6i$}; \draw[red, thick, dashed] (3,-8.5) -- (3,8.5); \node[red, right] at (3, 7.5) {$f'(ki) = 3 + 6ki$}; \filldraw[red] (3,0) circle (2.5pt) node[below right=2pt, font=\scriptsize] {$f'(0)=3$}; \filldraw[red] (3,6) circle (2.5pt) node[right, font=\scriptsize] {$f'(i)=3+6i$}; \filldraw[red] (3,-6) circle (2.5pt) node[right, font=\scriptsize] {$f'(-i)=3-6i$}; \filldraw[red] (3,9) circle (2.5pt) node[right, font=\scriptsize] {$f'(1.5i)=3+9i$}; \end{tikzpicture}

7. 평면 전체(z = x+iy)로의 격자 변환

복소수 z = x+iy를 f(z)에 대입하여 실수부 u와 허수부 v를 분리한다.

w = f(x+iy) = 3(x^2 - y^2) + 3x + i(6xy + 3y)

u = 3x^2 + 3x - 3y^2, \quad v = 3y(2x+1)

7.1 수직선 x = c의 상: 좌향 포물선 군

y = \dfrac{v}{3(2c+1)} (c \neq -\frac{1}{2})를 u에 대입하면:

u = (3c^2 + 3c) - \frac{1}{3(2c+1)^2}v^2

꼭짓점이 (3c^2+3c, 0)인 좌향 포물선이다.

  • c = 0 및 c = -1: 꼭짓점 (0,0), u = -\dfrac{1}{3}v^2로 동일한 포물선. 이는 f(0) = f(-1) 대칭성의 기하학적 발현이다.
  • c = 0.5 및 c = -1.5: 꼭짓점 (2.25, 0), u = 2.25 - \dfrac{1}{12}v^2

7.2 수평선 y = d의 상: 우향 포물선 군

x = \dfrac{v}{6d} - \dfrac{1}{2}를 u에 대입하면:

u = \frac{1}{12d^2}v^2 - \left(\frac{3}{4} + 3d^2\right)

꼭짓점이 \left(-\dfrac{3}{4}-3d^2, 0\right)인 우향 포물선이다.

\begin{tikzpicture}[scale=0.7, >=stealth] \draw[->, thick, gray] (-8,0) -- (7,0) node[right, black] {$u = \text{Re}(w)$}; \draw[->, thick, gray] (0,-4.5) -- (0,4.5) node[above, black] {$v = \text{Im}(w)$}; \node[below left] at (0,0) {$O$}; \draw[domain=-3.6:3.6, smooth, variable=\v, blue, thick] plot ({-(\v)^2/3}, {\v}); \node[blue, left, font=\scriptsize] at (-4.4, 3.6) {$x=0, -1$}; \draw[domain=-4.2:4.2, smooth, variable=\v, cyan, thick] plot ({2.25 - (\v)^2/12}, {\v}); \node[cyan, right, font=\scriptsize] at (2.3, 3.2) {$x=0.5, -1.5$}; \draw[domain=-3.5:3.5, smooth, variable=\v, orange, dashed, thick] plot ({-1.5 + (\v)^2/3}, {\v}); \node[orange, right, font=\scriptsize] at (3.5, 3.8) {$y = \pm 0.5$}; \filldraw[purple] (-0.75,0) circle (2.5pt) node[above left=1pt, font=\scriptsize] {$w=-\frac{3}{4}$ ($z=-\frac{1}{2}$)}; \end{tikzpicture}

8. 등각사상(Conformal Mapping)과 코시–리만 방정식

z-평면의 수직선(x=c)과 수평선(y=d)은 f(z) 아래에서 서로 직교하는 두 포물선 군으로 변환된다. 이는 f(z)가 복소미분 가능(해석적) 함수이기 때문이다.

실수부 u = 3x^2 + 3x - 3y^2와 허수부 v = 6xy + 3y의 편미분:

\frac{\partial u}{\partial x} = 6x + 3, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 6x + 3

\frac{\partial u}{\partial y} = -6y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 6y

코시–리만 방정식:

\boxed{\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}}

이 방정식이 성립하면 f(z)는 f'(z) \neq 0인 모든 영역에서 등각사상이 된다. 즉, z-평면에서 직교하던 두 곡선은 w-평면에서도 직교한다.

9. 특이점 z = -\dfrac{1}{2}에서의 2배각 거동

f'(z) = 6z + 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad z = -\frac{1}{2}

함수값:

f\left(-\frac{1}{2}\right) = 3\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{3}{2} = -\frac{3}{4}

z = -\dfrac{1}{2} 근방을 극좌표 z = -\dfrac{1}{2} + re^{i\theta}로 표현하면:

f\left(-\frac{1}{2} + re^{i\theta}\right) = -\frac{3}{4} + 3r^2 e^{i(2\theta)} + \mathcal{O}(r^3)

  • 기준점 -\dfrac{1}{2}에서 거리 r만큼 떨어진 점은 변환 후 기준점 -\dfrac{3}{4}에서 거리 3r^2만큼 떨어진다.
  • 각도 \theta는 2\theta로 2배 회전한다.
  • z-평면에서 -\dfrac{1}{2}를 지나는 직교선들은 변환 후 실수축 방향의 반직선으로 겹친다.

10. 생성함수(Generating Function)

10.1 고리 수열 S_k의 일반생성함수

F_S(t) = \sum_{k=0}^{\infty} S_k t^k = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} 6k \cdot t^k = \frac{1 + 4t + t^2}{(1-t)^2} \quad (|t| < 1)

10.2 누적 수열 g(n)의 일반생성함수

G(t) = \sum_{n=0}^{\infty} g(n) t^n = \frac{F_S(t)}{1-t} = \frac{1 + 4t + t^2}{(1-t)^3} \quad (|t| < 1)

분모 (1-t)^3은 g(n)이 2차 다항식임을 대수적으로 나타낸다. t=1에서 3위의 극을 가지므로 g(n)은 n^2에 비례하여 성장한다.

11. 요약

단계 수학적 대상 수식 / 변환식 기하학적 형상
원전 격자 화살 묶음 S_k = 6k, g(n) = 3n^2+3n+1 육포일(六抱一) 단위 고리 누적
감산법 테두리 누적 함수 f(n) = 3n^2+3n 대칭축 n=-1/2 기준 좌우 대칭
미분 연속 성장률 f'(n) = 6n+3 = \dfrac{S_n+S_{n+1}}{2} 인접한 두 고리 둘레의 산술평균
복소 확장 대칭 항등식 f(z) = f(-(z+1)) 모든 z \in \mathbb{C}에서 성립
허수축 매핑 z = ki 입력 f(ki) = -3k^2+3ki X = -\dfrac{1}{3}Y^2 좌향 포물선
도함수 매핑 f'(ki) f'(ki) = 3+6ki \text{Re}(w) = 3 수직 직선
평면 격자 변환 z = x+iy 입력 u = 3x^2+3x-3y^2, v = 3y(2x+1) 수직선→좌향 포물선, 수평선→우향 포물선
등각사상 코시–리만 방정식 \partial_x u = \partial_y v, \partial_y u = -\partial_x v 직교 곡선망의 각도 보존
특이점 z = -1/2 근방 f(-\frac{1}{2}+re^{i\theta}) = -\frac{3}{4} + 3r^2 e^{i(2\theta)} 각도 2배 회전, 분기점
생성함수 해석적 연속 G(t) = \dfrac{1+4t+t^2}{(1-t)^3} 2차 다항식 구조의 대수적 표현
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