개인화된 산판(算盤) 표기와 적분 부등식: f(x)=1의 도출

닫힌구간 [0, 1]에서의 연속함수 적분 문제를 풀다가, 문득 이를 전통 산학(算學)의 산목 계산 체계와 현대 서양 산술(西算)의 그래프 관점으로 함께 다루어 보았던 개인 노트를 정리해 둡니다.

※ 일러두기 (엉터리 손버릇에 대한 안내)

본문에 등장하는 산판 전개는 고문헌의 정통 산학 방식을 그대로 답습한 것이 아닙니다.

• 사원술(四元術)의 '天地人物'에 다변수/고차 자릿수 확장을 위해 甲·乙·丙·丁이나 '日·月·星·辰'를 덧붙여 위계를 정한 점,
• 행 이동 단계를 動一, 動二...와 같이 표기하고 합산 축을 本과 末로 구분해 정리한 방식,
• 산목 배치 중간에 '이건 뭐 어디서 가져온 건가'싶은 표기가 섞인 것

전통 산법의 뼈대 위에 제 개인적인 산법이 섞이고, 서양 산술까지 섞인 사투리입니다. 정통 문헌 고증보다는 '제가 편한 산법을 죄다 섞어 쓴 개인적인 사고 전개'로 읽어주시면 좋겠습니다.

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1. 문제 설정과 구분구적법

닫힌구간 [0, 1]에서 정의된 연속함수 f: [0, 1] \to \mathbb{R}에 대해 다음 조건이 주어져 있습니다.

\int_0^1 f(x) \, dx = 1

\int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx = 1

\int_0^1 x \{f(x)\}^2 \, dx = \frac{1}{2}

이를 구간을 n등분하는 구분구적법(x_k = \frac{k}{n}, \Delta x = \frac{1}{n})으로 펼치면 다음과 같습니다.

\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n} = 1

\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right)^2\frac{1}{n} = 1

\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{k}{n}\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right)^2\frac{1}{n} = \frac{1}{2}

살펴보고자 하는 목표는 아래의 3차 적분 상한식입니다.

\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{k}{n}\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right)^3 \frac{1}{n} \le \frac{1}{2} \quad \left(\text{즉, } \int_0^1 x \{f(x)\}^3 \, dx \le \frac{1}{2}\right)

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2. 실수 제곱의 성질을 이용한 완전제곱식의 등장 명분 만들기

실수 영역에서는 음수든 양수든 제곱하면 항상 0 이상(\ge 0)이 됩니다. 이를 산목(算木) 계산으로 직접 전개해 봅니다.

• 負一自乘得一: -1의 제곱은 1이다. 따라서 음수여도 동일함.

今有 負三分二厘一毫，自乘之數幾何？ (음수 0.321을 제곱하면 얼마인가?)

산판 위에 소수 자릿수(割·分·厘)를 맞추어 피승수와 승수를 배치합니다.

좌상단 산판

1	2	3	4
〇	𝍪	𝍬	𝍩
〇, 〇	𝍫	𝍲	三
〇	𝍪

우상단 산판

1	2	3	4	5	6
〇	𝍪	𝍬	𝍩
〇	〇	〇	𝍲	三	𝍡
〇	〇	𝍡

이를 산학의 사원 체계(天地人物)에 자릿수 확장을 위한 '甲'을 덧대어 구분선을 잡고 중간 곱셈 결과를 배치했습니다.

하단 산판 (天地人物甲 구분선 배치)

天	地	人	物	甲
〇	〇	𝍫	𝍲	三
〇	〇	〇	𝍲	三 𝍡
		𝍫 (圓)
		一 𝍪 (方)
			㈲
				𝍣 (方)
(〇)	𝍩	〇 𝍡	𝍶	𝍡

여기서 계산 행을 옮기며 자릿수를 이동시키는 단계를 개인적 표기법인 '動一, 動二, 動三' 및 '日月星辰' 순서 지정자를 두어 누적했습니다.

계	수	열	동
天	〇	甲	動一
地	三	乙	動二
人	二	丙	動三
物	一

위	수	차
天	〇	一
地	〇	二
人	〇	三
物	〇	日
甲	三	月
乙	二	星
丙	一	辰
丁

• [〇]\; 𝍩 \; 〇 \; 𝍡 \; 𝍶 \; 𝍡 \to \text{地五}
• [〇]\; 〇 \; 〇 \; 〇 \; 𝍪 \; 𝍬 \; 𝍩 \to \text{地六}
• 本六 末五

마지막으로 주(主) 합산 축인 本을 기준으로 정렬해 연산하면:

행	1	2	3	4	5	6
本	〇	〇	〇	𝍪	𝍬	𝍩
	一	〇	𝍬	𝍳	𝍬	〇
	一	〇	𝍭	〇	𝍭	𝍩

(-0.321)^2 = 0.103041

결과는 양수입니다.

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3. 제곱근(開平)과 不小於零

• 開平方二自乘之得二: \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2

開平方五分之一自乘之得

\sqrt{0.2} \approx 0.447 (近四分四厘七毫)

\sqrt{0.2} \times \sqrt{0.2} = 0.199809 (得 一分 九釐 九毫 八絲 零忽 九微)

不小於零 (0보다 작지 않다)

아무 점이나 찍어서 미지수로 둔다 해도, 제곱에서 빼면 항상 0이거나 0보다 큽니다. 서양 수학(西算)의 좌표축으로 보아도 2차 함수의 곡선은 기준선 아래로 파고들지 못합니다.

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4. 적분 범위의 유도

여기서 앞에서 만든 명분이 쓰입니다. 정의역과 공역은 어차피 실수 범위였잖아요.

복소수 너는 저어기 나가 있어.

복소수: 제가요? 왜요?

구간 [0, 1]에서 1-x \ge 0이고 \{f(x)\}^2 \ge 0이므로,

\int_0^1 (1-x)\{f(x)\}^2 \, dx \ge 0

\int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx - \int_0^1 x\{f(x)\}^2 \, dx \ge 0

조건 \int_0^1 x{f(x)}^2 , dx = \frac{1}{2}을 대입하면:

\therefore \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx \ge \frac{1}{2}

또한 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면:

\left(\int_0^1 1 \cdot \vert{}f(x)\vert{} \, dx\right)^2 \le \left(\int_0^1 1^2 \, dx\right) \left(\int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx\right)

\int_0^1 f(x) \, dx = 1이므로:

1 \le \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx

이야, 여기 정말 맛이 알싸하네요. 손이 꼬이는 것이 당연하잖아!

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5. f(x)=1의 검증과 거듭제곱의 추이

일단 f(x)=1일 때는,

\int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx = 1 \text{ 이 됨.}

이때 삼차 적분 역시:

\int_0^1 x \{f(x)\}^3 \, dx = \int_0^1 x \cdot 1^3 \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2} \text{ 임.}

그렇다면 이것만 보고 항상 1이라고 할 수 있는가?

함수값을 f(x)=Y로 두고 세제곱까지 어떻게 흘러가는지 따져봅니다.

어지간한 지능이면 이걸 굳이 안 그려봐도 넘어 가는데, 제가 좀 멍청이라서요.

• Y = 0.9 \implies Y^2 = 0.81 (작아짐)
• Y = 1.1 \implies Y^2 = 1.21 (커짐)

1을 기준으로 밑이 다른 함수들의 거듭제곱 추이를 보면 다음과 같습니다.

A = 0.9 \quad A^2 = 0.81 \dots

f(x) = 0.9^x

g(x) = 1.1^x

그래프로 감을 잡았으니, 2절과 3절에서 빌드업한 실수의 제곱은 0 이상(\ge 0)이라는 칼을 마침내 빼들 시간입니다.

피적분함수를 완전제곱식으로 묶어 정적분해 봅니다.

\int_0^1 \{f(x) - 1\}^2 \, dx = \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx - 2\int_0^1 f(x) \, dx + \int_0^1 1 \, dx

주어진 조건 \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx = 1과 \int_0^1 f(x) \, dx = 1을 대입하면:

\int_0^1 \{f(x) - 1\}^2 \, dx = 1 - 2(1) + 1 = 0

실수 영역에서 \{f(x) - 1\}^2 \ge 0인데, 이 비음수 연속함수를 적분한 결과가 정확히 0입니다.

따라서 피적분함수 자체가 구간 내 모든 점에서 0이어야만 합니다.

\{f(x) - 1\}^2 = 0 \implies f(x) = 1

목표였던 3차 적분 상한식도 등호로 깔끔하게 성립합니다.

\int_0^1 x \{f(x)\}^3 \, dx = \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}

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풀이 후기

Gemini가 출제해 준 문제입니다. 손으로 풀다가 좀 짜증이 나서 산가지까지 끌어 와서 진짜 그렇다는 거냐? 하고 계산하고 그래프 그리고 난리법석을 치긴 했는데, 풀렸으니 된 거 아닐까요?

좋았쓰.