연분수 전개를 통한 유리함수의 극한

1페이지: 문제 설정, 산대 표기 및 유클리드 호제법

기본 식

$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$

$g(x) = 2x^2 + x + 4$

$\frac{f(x)}{g(x)}$ 를 구하시오.

산대 연산과 나눗셈 (除法)

平正常 (평,정,상): 계수를 평방, 정, 상수( $x^2$ , $x$ , $C$ 로 두어 산목(산대)으로 정렬

$f(x)$ 계수: $\mathbf{|||}\quad \mathbf{||}\quad \mathbf{|}$ ( $3, 2, 1$ )

$g(x)$ 계수: $\mathbf{||}\quad \mathbf{|}\quad \mathbf{||||}$ ( $2, 1, 4$ )

除法 (제법): $f(x) \div g(x) = 1 \dots (x^2 + x - 3)$

연분수 전개 및 역수 연산

$\frac{f(x)}{g(x)} = 1 + \frac{x^2 + x - 3}{g(x)} = 1 + \frac{x^2 + x - 3}{2x^2 + x + 4}$

(가설: $1 + \frac{1}{2}$ 로 수렴)

$X^{-1} = (2x^2 + x + 4) \div (x^2 + x - 3)$

산대 계수 비 연산 ( $\mathbf{||} - \mathbf{||||}$ 곱 $\dots \approx 1$ 근사)

$h(x) = x^2 + x - 3$

$g(x) \div h(x) = 1 \dots (x^2 + 7)$

$\frac{x^2 + 7}{x^2 + x - 3} \to B$

$B^{-1} = \frac{x^2 + x - 3}{x^2 + 7} = 1 \dots x - 10$

용어 해설

平正常 (평정상): 각각 미지수 $x$ 의 평방 $x^2$ , 미지수 $x$ , 상수를 의미하며, 사람에 따라 平方, 正, 常數와 같이 모두 쓰기도 합니다.

除法 (제법): 나눗셈 알고리즘으로, 피제수와 제수의 최고차항을 비교하여 몫을 산출하고 잔차를 아래로 내리는 방식입니다.

2페이지: 이항계수 전개와 연분수 합성

잔차 연산

$B^{-1}$ 에서: $\frac{x - 10}{x^2 + 7}$

$B$ 에선?: $\frac{x^2 + 7}{x - 10}$

平正常: 계수 정리

$\begin{array}{cc} 1 & -11 \\ 0 & -10 \end{array}$

揚輝算法 (양휘산법)을 통한 2차식 분해

揚輝算法 (양휘산법) 이항 계수 삼각형:
$1 \to x$
$1 \quad 1 \to x + y$
$1 \quad 2 \quad 1 \to (x^2 + 2xy + y^2)$
$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \to (x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3)$
$x = x, y = -10$ 대입:
$(x - 10)^2 = x^2 - 20x + 100$
$(x + y)(x - y)$ 일 시 $x^2 + (10 - 10)x - 100$
$\frac{(x+2)(x-2) + C}{x - 4}$ 형태 조작을 거쳐 계산 정리:
$\frac{x^2 + 7}{x - 10} = (x + 10) + \frac{107}{x - 10}$

이항 계수 삼각형을 변형해서, $(x - 10)(x + 10)$ 꼴로 쓰면 변종 삼각형을 얻는다. 이것을 이용해서 $\frac{x^2 + 7}{x - 10} = (x + 10) + \frac{107}{x - 10}$ 의 셈을 얻는다.

연분수 결합 식

$\frac{f(x)}{g(x)} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{(x + 10) + \cfrac{107}{x - 10}}}}$

문헌 해설

揚輝算法 (양휘산법): 남송(南宋)의 수학자 양휘(楊輝)가 1274년에 저술한 수학서입니다. 한국에는 세종대왕 재위 시기 인쇄되어 학술적으로 보급되었습니다. 고법칠승방도(古法七椉方圖)에서 8차까지의 고차 다항식의 전개를 제시하며, 그 밖에도 개방법의 기본 구조를 제공합니다.

3페이지: 극한 조작 및 수렴값 확정

연분수식 재정리

$\frac{f(x)}{g(x)} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{(x + 10) + \cfrac{107}{x - 10}}}}$

잔차항 분석 ( $x \to \infty$ )

$\lim_{x \to \infty} \cfrac{1}{(x + 10) + \cfrac{107}{x - 10}}$

이건 $x$ 가 무한히 커지면 $0$ .

직관적 치수 대입 (필산 관점)

$x$ 를 1조라고 치면:

$1\text{조 } 10 + 107 \div (9999\text{억 } 9999\text{만 } 9990)$

수가 무한히 커진다고 하면 $0$ .
$-\infty \leftarrow \quad \rightarrow +\infty$ ( $+18 \to 0$ )

최종 수렴값 계산

$\frac{f(x)}{g(x)} \underset{\lim_{x \to \infty}}{=} 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 0}} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$