쉬운 풀이
최근 고전 수학서를 좀 읽으면서 잔머리 굴리는 풀이를 배워 왔다. 한번 당겨 써 보자.
1. 문제 상황
- 甲 사각형 한 변: 1
- 乙 사각형 한 변: 2
- 丙 사각형 한 변: 알 수 없음
小得中之四分之一
작은 사각형(甲)은 중간 사각형(乙) 면적의 4분의 1이다.
甲一乙二丙幾何 答不可知
甲은 1, 乙은 2인데 丙은 얼마인가? 답을 알 수 없다.
제일 큰 문제. 세 번째 사각형(丙)의 한 변을 모른다.
전체를 가로지르는 빗변(弦)을 구하려니 丙의 길이를 몰라 계산이 막히므로, 한 변의 길이를 알고 있는 두 번째 사각형(乙) 내부로 문제를 끌어와서 푼다.
\begin{tikzpicture}[scale=1.0, line cap=round, line join=round]
% =
% 도판 1: 전체 배치 (甲, 乙, 丙)
% =
\begin{scope}[shift={(0,5.5)}]
\draw[thick] (-0.5,0) -- (7.5,0);
% 甲 사각형
\draw[thick] (0,0) rectangle (1,1);
\node at (0.5,-0.3) {甲 1};
\node at (0.5,0.5) {小};
\node[anchor=south] at (0.5,1) {\tiny 小得中之四分之一};
% 乙 사각형
\draw[thick] (1,0) rectangle (3,2);
\node at (2,-0.3) {乙 2};
\node at (2,1) {中};
% 丙 사각형
\draw[thick, dashed] (3,0) rectangle (6.5,3.5);
\node at (4.75,-0.3) {丙 ?};
\node at (4.75,1.75) {未知};
% 빗변 연결선
\draw[red, thick] (0,0.5) -- (1,1) -- (3,0) -- (6.5,3.5);
\draw[red, double, -{Stealth}] (3,0) -- (6.5,3.5) node[midway, above left] {未知};
\end{scope}
% =
% 도판 2: 乙 내부 구고현 및 산판
% =
\begin{scope}[shift={(0,0)}]
\draw[thick] (0,0) rectangle (4,4);
\draw[thin] (0,2) -- (4,2);
\draw[thin] (2,0) -- (2,4);
% 구고현 (勾-股-弦)
\draw[red, thick] (0,2) -- (2,4) node[midway, above left] {\tiny 天元 勾};
\draw[dashed, thick] (2,4) -- (4,0) node[midway, above right] {弦 (地元)};
\draw[thin] (0,2) -- (4,0) node[midway, below] {股};
% 직각 표시 (矩)
\draw[thick] (0.15,2.15) -- (0.35,2.15) -- (0.35,2.35) -- (0.15,2.35) -- cycle;
\node at (0.25,2.25) {\tiny 矩};
\draw[dashed] (2,4) arc[start angle=135, end angle=90, radius=2.83];
\draw[dashed] (4,0) arc[start angle=0, end angle=45, radius=4];
% 산판 배치
\begin{scope}[shift={(4.3, 0.5)}]
\node[anchor=west] at (0, 2.5) {元 \quad \texttt{||}};
\node[anchor=west] at (0, 1.8) {實 \quad \texttt{||||}};
\node[anchor=west] at (0, 1.1) {法 \quad \texttt{||}};
\node[anchor=west, red] at (0, 0.2) {\small 以九數口訣可得};
\end{scope}
\end{scope}
% =
% 도판 3: 本象 (正/負 분할)
% =
\begin{scope}[shift={(8,0)}]
\draw[thick] (0,0) rectangle (3,4);
\draw[thick] (0,4) -- (3,0);
% 직각 표시 (矩)
\draw[thick] (0.15,0.15) -- (0.35,0.15) -- (0.35,0.35) -- (0.15,0.35) -- cycle;
\node at (0.25,0.25) {\tiny 矩};
\node at (0.8, 1.5) {\textbf{正}};
\node at (2.2, 2.8) {\textbf{負}};
\node[anchor=north] at (1.5, 0) {開平方二};
\node[anchor=east] at (0, 2) {又開平方二};
\node[align=left, anchor=west] at (3.2, 2) {
\textbf{本象}\\
全四\\
正部二\\
負部二
};
\end{scope}
% =
% 도판 4: 루트 2 중심 분할 + 직각삼각형(4,1)
% =
\begin{scope}[shift={(12.5,0)}]
% --- 상단: 루트 2 중심 분할 ---
\draw[very thick] (0,2) -- (0.8,4.5) -- (1.6,2) -- cycle;
\node at (0.8,3.2) {\small $\sqrt{2}$};
\draw[dashed] (0.8,2) -- (0.8,4.5);
% --- 하단: 직각삼각형 (밑변 4, 높이 1) ---
\draw[thick] (0,0) -- (4,0) -- (0,1) -- cycle;
\node at (2,-0.3) {4};
\node at (-0.3,0.5) {1};
\node at (2.2,0.6) {$\sqrt{17}$};
% 직각 자리에 矩
\draw[thick] (0.15,0.15) -- (0.35,0.15) -- (0.35,0.35) -- (0.15,0.35) -- cycle;
\node at (0.25,0.25) {\tiny 矩};
% --- 메모 ---
\node[align=left, anchor=west] at (4.3, 2.5) {\tiny 一〇以自數除開平};
\node[align=left, anchor=west] at (4.3, 2.0) {\tiny 二得一};
\node[align=left, anchor=west] at (4.3, 1.5) {\tiny 乘除相和首尾};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
2. 상세 풀이 과정
(1) 천원(天元)을 세워 구(勾) 구하기
立天元一為勾
천원 1을 미지수로 세워 구(밑변, x)로 삼는다.
一乘一得一
1에 1을 곱하면 1을 얻는다.
又乘之得一
거듭 곱해도 1을 얻는다.
一加一如二
1에 1을 더하면 2가 된다.
得開平方以勾數
여기에 제곱근을 씌워(開平方) 구의 수치(\sqrt{2})를 얻는다.
(2) 지원(地元)을 세워 현(弦) 구하기 및 산판 계산
立地元一為弦
지원 1을 미지수로 세워 현(빗변, y)으로 삼는다.
以二自乘之得四矣
2를 스스로 곱해(제곱해) 4를 얻는다.
四加四得八，開平方如二又開平方二矣
4에 4를 더하면 8이 되고, 8의 제곱근을 풀면 2\sqrt{2}가 된다.
以九數口訣可得
산판의 元(2)·實(4)·法(2) 배치와 구수 구결을 통해서도 값을 얻을 수 있다.
(3) 곱셈과 나눗셈의 성질 및 《구수략》 인용
今有天元開平方二，又地元二又開平方二矣
이제 천원은 \sqrt{2}이고, 지원은 2\sqrt{2}이다.
開平方二相乘復得四
\sqrt{2}와 2\sqrt{2}를 서로 곱하면 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2가 되므로 전체 곱은 4를 얻는다.
二以二乘二得四
2에 2를 곱하면 4를 얻는다.
以二除四得二，二乘二，四以二除四得二，則與未乘同
2로 4를 나누면 2를 얻는다. 2에 2를 곱했다가 그 4를 다시 2로 나누어 2를 얻는 것은, 결국 처음부터 곱하지 않은 것과 같다.
此出於九數略，甲篇統論四法乘除法也
이는 《구수략》 갑편 〈통론사법〉에 나오는 승제법의 원리다.
傳曰斷木為棋院，革為鞠，亦皆有法焉，況於算術之精微乎
옛글에 이르길 "나무를 깎아 바둑판을 만들고 가죽을 다듬어 공을 만드는 데도 다 정해진 법칙이 있는데, 하물며 이토록 정밀하고 미묘한 산술(수학)에 어찌 법칙이 없겠는가!"라고 하였다.
(4) 本象(본상)
本象 (본상)
開平方二 / 又開平方二 / 矩
가로 \sqrt{2}와 세로 \sqrt{2}가 직각(矩)을 이룬다.
全四 正部二 負部二
전체 면적은 4이며, 대각선으로 나뉜 양의 영역(正)과 음의 영역(負)은 각각 2가 된다.
4번째 장 — \sqrt{2}를 중심으로 한 분할
一〇以自數除開平 / 二得一 / 乘除相和首尾
10을 자기 수로 나누고 개평방(開平)의 연산을 거치면 2를 얻는다. 곱셈과 나눗셈이 서로 화합하여 처음과 끝이 맞는다.
이 도식은 \sqrt{2}를 중심축으로 두고 면적 4를 루트 2 기준으로 나누어 상쇄시키는 원리를 보여준다. 아래의 직각삼각형(밑변 4, 높이 1)은 이 분할의 보조 도식으로, 직각(矩)에서 출발하여 구고현의 비례가 어떻게 성립하는지를 함께 보여준다.
3. 결론
답은 2이다.
答曰二矣
한 변이 \sqrt{2}인 직각사각(矩)의 전체 면적 4에서, 대각선으로 나뉜 양의 영역(正部)과 음의 영역(負部)이 각각 2로 깔끔하게 떨어지며, \sqrt{2}를 중심으로 한 곱셈과 나눗셈의 순환 상쇄 원리에 따라 구하고자 하는 본원(本源)의 몫은 2로 귀결된다.
4. 후기
구장산술 계통의 산술법에서 말하던 것들이 와닿는다. 결국 옛날 수학자들도 하고 싶었던 말은 "너 그거 어렵지? 그럼 쉽게 만들어서 풀지 왜 사서 고생을 하냐?"는 것 같다.
4장 본상 쪽은 내가 나름 구상해 본 아이디어긴 하다. 근데 저거 초등학교 때 가르쳐 주잖아?
기술에선 얍삽이도 스킬이다.
gg582 · 2026-08-28 16:19:39 · 0 views