가장자리만 자라는 눈송이의 넓이를 계산해 보자

1. 문제 정의 및 초기 무한급수식 설정

1.1. 도형 개수 및 넓이 규칙

$n=0$ (초기 상태): 기준 정삼각형 1개, 넓이 $x$
$n=1$ 단계:
새로 붙는 삼각형 개수: $9(1) - 6 = 3$ 개
조각 1개의 넓이: $\dfrac{1}{9}x$
$n=1$ 까지의 누적 넓이: $x + \dfrac{3}{9}x$
$n=2$ 단계:
새로 붙는 삼각형 개수: $9(2) - 6 = 12$ 개
조각 1개의 넓이: $\dfrac{1}{81}x$
$n=2$ 까지의 누적 넓이: $x + \dfrac{3}{9}x + \dfrac{12}{81}x = x + \dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{27}x$
$n=3$ 단계:
새로 붙는 삼각형 개수: $9(3) - 6 = 21$ 개
조각 1개의 넓이: $\dfrac{1}{729}x$
일반화 ( $n$ 단계):
새로 붙는 삼각형 개수: $(9n - 6)$ 개
조각 1개의 넓이: $\left(\dfrac{1}{9}\right)^n x$

1.2. 무한급수 $f(x)$ 식 작성

$f(x) = x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{9n - 6}{9^n} x$

공통인수 $x$ 를 전체 밖으로 묶어냅니다.

$f(x) = x \left( 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{9n - 6}{9^n} \right)$

1.3. 분수 분리 및 시그마 전개

분자 $(9n - 6)$ 을 두 항으로 나누어 분수를 쪼갭니다.

$\frac{9n - 6}{9^n} = \frac{9n}{9^n} - \frac{6}{9^n}$

시그마 기호를 각각 나누어 적용하고 계수를 밖으로 꺼냅니다.

$f(x) = x \left( 1 + 9 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{9^n} - 6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9^n} \right)$

1.4. 우측 등비급수 파트 연산

$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{9^n}$ 은 첫항 $a = \dfrac{1}{9}$ , 공비 $r = \dfrac{1}{9}$ 인 등비급수입니다.

등비급수 수렴 공식 $\dfrac{a}{1 - r}$ 에 대입합니다.

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9^n} = \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{8}{9}} = \frac{1}{9} \times \frac{9}{8} = \frac{1}{8}$

2. 상수항 정리 및 등차·등비 혼합급수의 중첩 구조 분해

2.1. 등비급수 계산값 대입 및 상수 정돈

구한 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{9^n} = \dfrac{1}{8}$ 을 대입합니다.

$f(x) = x \left( 1 + 9 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{9^n} - 6 \cdot \frac{1}{8} \right) = x \left( 1 + 9 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{9^n} - \frac{3}{4} \right)$

상수항 $1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ 로 계산하여 묶습니다.

$f(x) = x \left( \frac{1}{4} + 9 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{9^n} \right)$

2.2. 등차·등비 혼합급수 $S$ 의 정의 및 항 전개

구하고자 하는 급수를 $S$ 라 설정하고 나열합니다.

$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{9^n} = \frac{1}{9} + \frac{2}{9^2} + \frac{3}{9^3} + \frac{4}{9^4} + \dots$

2.3. $\dfrac{1}{9}$ 인수분해를 통한 중첩 구조 생성

맨 앞의 $\dfrac{1}{9}$ 을 밖으로 묶어냅니다.

$S = \frac{1}{9} \left( 1 + \frac{2}{9} + \frac{3}{9^2} + \frac{4}{9^3} + \dots \right)$

이 분해를 계속 내부에서 반복하면 다음과 같은 중첩 형태가 됩니다.

$S = \frac{1}{9} \left( 1 + \frac{1}{9} \left( 2 + \frac{1}{9} \left( 3 + \frac{1}{9} \left( 4 + \dots \right) \right) \right) \right)$

2.4. 괄호 내부의 자기 유사성 분해

중간 괄호 안의 수열 $1 + \dfrac{2}{9} + \dfrac{3}{9^2} + \dfrac{4}{9^3} + \dots$ 을 두 수열의 합으로 쪼갭니다.

$1 + \frac{2}{9} + \frac{3}{9^2} + \frac{4}{9^3} + \dots = 1 + \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{2}{9^2} + \frac{1}{9^2} \right) + \left( \frac{3}{9^3} + \frac{1}{9^3} \right) + \dots$

항을 새로 짝지어 두 덩어리로 만듭니다.

첫 번째 묶음 (원래 급수 $S$ ): $\dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{9^2} + \dfrac{3}{9^3} + \dots = S$
두 번째 묶음 (등비급수): $1 + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9^2} + \dfrac{1}{9^3} + \dots = 1 + \dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8}$

따라서 괄호 내부 전체식 $T$ 는 다음과 같이 정의됩니다.

$T = S + \frac{9}{8}$

이를 밖의 $\dfrac{1}{9}$ 과 결합하면 $S$ 의 관계식이 완성됩니다.

$S = \frac{1}{9} T = \frac{1}{9} \left( S + \frac{9}{8} \right)$

3. 점화식 형성, 일반항 유도 및 최종 수렴값 산출

3.1. $S$ 의 점화식 세우기

관계식 $S = \dfrac{1}{9}S + \dfrac{1}{8}$ 을 $k$ 번째 근사 수열 $a_k$ 의 점화식으로 재구성합니다.

초기 조건: $a_0 = 0$
점화식: $a_k = \dfrac{1}{9} a_{k-1} + \dfrac{1}{8} \quad (k \ge 1)$

3.2. 초기 항 대입을 통한 수열 패턴 확인

$a_1 = \dfrac{1}{9}(a_0) + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{9}(0) + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{8}$
$a_2 = \dfrac{1}{9}(a_1) + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{8}\right) + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{8} \left( 1 + \dfrac{1}{9} \right)$
$a_3 = \dfrac{1}{9}(a_2) + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{9}\left( \dfrac{1}{8} \left( 1 + \dfrac{1}{9} \right) \right) + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{8} \left( 1 + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9^2} \right)$

3.3. 일반항의 시그마 표현

$k$ 번째 항까지의 대입 결과를 시그마로 일반화합니다.

$a_k = \frac{1}{8} \sum_{i=0}^{k-1} \left(\frac{1}{9}\right)^i$

3.4. 유한 등비수열 합 공식을 통한 일반항 유도

첫항 $1$ , 공비 $\dfrac{1}{9}$ , 항수 $k$ 개인 유한 등비수열 합 공식 $\dfrac{a(1-r^k)}{1-r}$ 을 적용합니다.

$a_k = \frac{1}{8} \cdot \left( \frac{1 - \left(\frac{1}{9}\right)^k}{1 - \frac{1}{9}} \right)$

분모 $1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$ 를 나누어 정리합니다.

$a_k = \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{8} \left( 1 - \left(\frac{1}{9}\right)^k \right) = \frac{9}{64} \left( 1 - \left(\frac{1}{9}\right)^k \right)$

3.5. 무한 극한 취하기 ( $k \to \infty$ )

$k \to \infty$ 일 때 $\left(\dfrac{1}{9}\right)^k \to 0$ 이므로 급수 $S$ 의 수렴값이 확정됩니다.

$S = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} \frac{9}{64} \left( 1 - \left(\frac{1}{9}\right)^k \right) = \frac{9}{64} \times (1 - 0) = \frac{9}{64}$

3.6. 최종 식 대입 및 면적 계산

$f(x)$ 정리식에 $S = \dfrac{9}{64}$ 를 대입합니다.

$f(x) = x \left( \frac{1}{4} + 9 S \right) = x \left( \frac{1}{4} + 9 \cdot \frac{9}{64} \right) = x \left( \frac{1}{4} + \frac{81}{64} \right)$

$\dfrac{1}{4}$ 을 분모 64로 통분합니다 ( $\dfrac{1}{4} = \dfrac{16}{64}$ ).

$f(x) = x \left( \frac{16}{64} + \frac{81}{64} \right) = \frac{97}{64}x$

최종 면적 값은 $\dfrac{97}{64}x$ 입니다.