SNS에서 주운 수능식 문제

문제 정의

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다.

• (가) \int_{0}^{1} \{f'(x)\}^2 \, dx = 7
• (나) \int_{0}^{1} x^2 f(x) \, dx = \frac{1}{3}

f(1) = 0일 때, \int_{0}^{1} f(x) , dx = \frac{p}{q}이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수)

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1. 부분적분으로 f'(x)와 연결하기

조건 (가)는 f'(x)에 대한 식이지만 조건 (나)는 f(x)가 들어있으므로, 두 식의 관계를 보기 위해 조건 (나)를 부분적분합니다.

곱의 미분법 역연산을 이용해 정리합니다.

\int_{0}^{1} x^2 f(x) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 f(x) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{3}x^3 f'(x) \, dx = \frac{1}{3}

f(1) = 0이므로 앞의 경계항은 0이 됩니다.

0 - \frac{1}{3}\int_{0}^{1} x^3 f'(x) \, dx = \frac{1}{3}

양변에 -3을 곱하면 다음 식을 얻습니다.

\int_{0}^{1} x^3 f'(x) \, dx = -1

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2. 구분구적법(시그마)과 코시-슈바르츠 부등식 적용

해설지식의 뜬금없는 완전제곱식 조작 대신, 식을 구분구적법 형태로 쪼개어 대수적인 성질을 관찰합니다.

구간 [0, 1]을 n등분하여 x_k = \frac{k}{n}, \Delta x = \frac{1}{n}이라 두고 두 항을 다음과 같이 정의합니다.

• A_k = f'\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{\sqrt{n}}
• B_k = \left(\frac{k}{n}\right)^3 \frac{1}{\sqrt{n}}

각각의 정적분 값은 급수의 극한으로 표현됩니다.

• \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} A_k^2 = \int_{0}^{1} \{f'(x)\}^2 \, dx = 7
• \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} B_k^2 = \int_{0}^{1} x^6 \, dx = \left[ \frac{1}{7}x^7 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{7}
• \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} A_k B_k = \int_{0}^{1} x^3 f'(x) \, dx = -1

실수 수열 A_k, B_k에 대해 코시-슈바르츠 부등식을 세웁니다.

\left( \sum_{k=1}^{n} A_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^{n} B_k^2 \right) \ge \left( \sum_{k=1}^{n} A_k B_k \right)^2

양변에 극한 n \to \infty를 취하면:

7 \times \frac{1}{7} \ge (-1)^2 \implies 1 \ge 1

좌변과 우변이 모두 1로 일치하면서 등호가 성립합니다.

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3. 등호 성립 조건에 따른 f'(x)의 필연적 결정

코시-슈바르츠 부등식에서 등호가 성립하려면 두 성분이 비례해야 합니다.

\frac{A_k}{B_k} = c \quad (\text{상수 } c)

즉, 모든 x에 대해 도함수는 삼차 단항식과 비례 관계를 갖습니다.

f'(x) = c x^3

이를 \int_{0}^{1} x^3 f'(x) \, dx = -1에 대입합니다.

c \int_{0}^{1} x^6 \, dx = \frac{c}{7} = -1 \implies c = -7

따라서 도함수가 확정됩니다.

f'(x) = -7x^3

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4. f(x) 복원 및 최종 적분 계산

f'(x) = -7x^3을 적분합니다.

f(x) = -\frac{7}{4}x^4 + C

f(1) = 0이므로 C = \frac{7}{4}입니다.

f(x) = -\frac{7}{4}x^4 + \frac{7}{4}

구하고자 하는 값을 적분합니다.

\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} \left( -\frac{7}{4}x^4 + \frac{7}{4} \right) dx = \left[ -\frac{7}{20}x^5 + \frac{7}{4}x \right]_{0}^{1} = -\frac{7}{20} + \frac{35}{20} = \frac{28}{20} = \frac{7}{5}

따라서 p = 7, q = 5이며 서로소 조건을 만족합니다.

p + q = 7 + 5 = 12

후기

진작에 이렇게 풀었으면 영남대학교도 갔겠는데? 근데 그랬으면 지금처럼 코드 짤 때 일단 들이박아 보는 스타일은 못 됐겠지.