삼릉전 325개의 바깥층 개수를 구하는 두 가지 풀이

문제

今有三稜箭束積三百二十五隻 問外周幾何

삼릉전/삼릉전속(三稜箭束)을 이루는 화살이 모두 325개일 때, 바깥 둘레를 이루는 화살은 몇 개인가?

여기서 적(積)은 쌓아 놓은 화살의 전체 개수를 뜻하고, 외주(外周)는 가장 바깥층을 이루는 화살의 개수를 뜻한다.

이하에서는 각각 전체 개수, 바깥층 개수라는 현대적인 표현을 사용한다.

전체 개수 325를 산목으로 나타내면 다음과 같다.

\text{𝍫𝍡𝍭}

삼릉전은 중심의 하나를 기준으로 바깥에 층을 하나씩 더해 나간다고 볼 수 있다.

새로운 층에 추가되는 화살의 수는 다음과 같이 9씩 증가한다.

9,\ 18,\ 27,\ 36,\ \ldots

따라서 전체 개수 325는 다음과 같은 꼴이다.

325=1+(9+18+27+\cdots)

앞의 1은 중심에 놓인 화살 하나이다.

중심	1층	2층	3층	4층	...	(n)층
1	9	18	27	36	...	(9n)

이 표는 실제 화살 325개를 하나씩 표시한 것이 아니라, 중심을 기준으로 바깥층을 하나씩 더하는 구조를 나타낸 것이다.

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첫 번째 풀이: 층의 수를 먼저 구한다

바깥쪽 층의 수를 (n)이라고 하자.

첫 번째 층에는 9개의 화살이 있다.

9

두 번째 층에는 18개의 화살이 있다.

18=9\times2

같은 방식으로 (n)번째 층에는 다음과 같이 화살이 놓인다.

9n

전체 개수 325에서 중심의 하나를 빼면 다음과 같다.

325-1=324

따라서 모든 바깥층의 화살을 합하면 다음과 같다.

9+18+27+\cdots+9n=324

9를 묶는다.

9(1+2+3+\cdots+n)=324

등차수열의 합은 다음과 같다.

1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

따라서 다음 식을 얻는다.

9\frac{n(n+1)}{2}=324

양변에 2를 곱한다.

9n(n+1)=648

9로 나눈다.

n(n+1)=72

왼쪽을 전개한다.

n^2+n=72

한쪽으로 이항한다.

n^2+n-72=0

인수분해한다.

(n+9)(n-8)=0

따라서 두 해는 다음과 같다.

n=-9,\qquad n=8

층의 수는 양수이므로 다음 값만 취한다.

n=8

따라서 가장 바깥층의 개수는 다음과 같다.

9n=9\times8=72

그러므로 답은 72이다.

72

72를 산목으로 쓰면 다음과 같다.

\text{𝍦𝍪}

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전체 개수로 검산하기

층이 8개라면 각 층에서 추가되는 화살의 수는 다음과 같다.

9,\ 18,\ 27,\ 36,\ 45,\ 54,\ 63,\ 72

층	1	2	3	4	5	6	7	8
추가되는 화살	9	18	27	36	45	54	63	72

중심을 제외한 전체 개수는 다음과 같다.

9+18+27+36+45+54+63+72

9를 묶는다.

9(1+2+3+4+5+6+7+8)

괄호 안의 합은 다음과 같다.

1+2+3+4+5+6+7+8=36

따라서 다음과 같다.

9\times36=324

여기에 중심의 하나를 더한다.

324+1=325

처음 주어진 전체 개수와 일치한다.

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두 번째 풀이: 바깥층 개수를 직접 찾는다

첫 번째 풀이에서는 층의 수 (n)을 먼저 구한 뒤 (9n)을 계산하였다.

이번에는 (n)을 따로 구하지 않고, 바깥층의 개수가 직접 들어 있는 곱을 만든다.

앞에서 얻은 식은 다음과 같다.

9\frac{n(n+1)}{2}=324

양변에 2를 곱한다.

9n(n+1)=648

여기에 다시 9를 곱한다.

81n(n+1)=5832

왼쪽에서 (81=9\times9)이므로 다음과 같이 묶을 수 있다.

81n(n+1)=(9n)(9(n+1))

또한 다음 관계가 성립한다.

9(n+1)=9n+9

따라서 다음 식을 얻는다.

(9n)(9n+9)=5832

여기서 (9n)은 바로 바깥층의 개수이다.

바깥층의 개수를 (x)라고 하자.

x=9n

그러면 다음 식을 얻는다.

x(x+9)=5832

즉 문제는 다음과 같이 바뀐다.

곱이 5832이고 서로 9만큼 차이가 나는 두 양의 정수를 찾는다. 그 가운데 작은 수가 바깥층의 개수이다.

5832를 산목으로 쓰면 다음과 같다.

\text{𝍤𝍰𝍢𝍪}

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5832를 작은 곱으로 분해한다

먼저 다음과 같이 나눈다.

5832=9\times648

648은 다음과 같이 나눌 수 있다.

648=2\times324

따라서 다음과 같다.

5832=9\times2\times324

324는 다음과 같이 나눌 수 있다.

324=9\times36

따라서 다음과 같다.

5832=9\times2\times9\times36

9를 3과 3으로 나눈다.

9=3\times3

36도 3과 2의 곱으로 나눈다.

36=3\times3\times2\times2

따라서 5832는 다음과 같이 완전히 분해된다.

5832=(3\times3)\times2\times(3\times3)\times(3\times3\times2\times2)

같은 인수를 모으면 다음과 같다.

5832=3^6\times2^3

즉 5832를 이루는 인수들을 하나씩 펼쳐 놓으면 다음과 같다.

3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 2,\ 2,\ 2

이를 표로 나타내면 다음과 같다.

인수의 종류	구성	곱
3의 인수	3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3	3^6
2의 인수	2 × 2 × 2	2^3

따라서 다시 다음과 같다.

5832=3^6\times2^3

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3과 2의 칸을 두 묶음으로 나눈다

구하려는 두 수는 서로 9만큼 차이가 나야 한다.

따라서 다음 인수들을 두 묶음으로 나눈다.

3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 2,\ 2,\ 2

한쪽에 다음 다섯 인수를 놓는다.

3,\ 3,\ 2,\ 2,\ 2

이 묶음의 곱은 다음과 같다.

3\times3\times2\times2\times2=72

이 계산을 3의 묶음과 2의 묶음으로 나누어 보면 다음과 같다.

3\times3=9

2\times2\times2=8

따라서 다음과 같다.

9\times8=72

나머지 인수는 다음과 같다.

3,\ 3,\ 3,\ 3

그 곱은 다음과 같다.

3\times3\times3\times3=81

두 묶음을 표로 정리하면 다음과 같다.

묶음	들어가는 인수	계산	결과
첫 번째 묶음	3, 3, 2, 2, 2	3 × 3 × 2 × 2 × 2	72
두 번째 묶음	3, 3, 3, 3	3 × 3 × 3 × 3	81

따라서 다음의 인수분해를 얻는다.

5832=72\times81

두 수의 차를 확인한다.

81-72=9

따라서 다음과 같다.

72\times81=5832

그리고

81=72+9

이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

72(72+9)=5832

이는 앞에서 얻은 식과 정확히 일치한다.

x(x+9)=5832

따라서 다음과 같다.

x=72

그러므로 바깥층의 개수는 72이다.

72

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칸의 분해만 다시 보면

5832를 3과 2의 곱으로 완전히 분해하면 다음과 같다.

5832=3^6\times2^3

이 가운데 다음 인수들을 한 묶음으로 취한다.

3^2\times2^3

이를 계산한다.

3^2=9

2^3=8

따라서 다음과 같다.

3^2\times2^3=72

같은 계산을 실제 곱으로 쓰면 다음과 같다.

3\times3\times2\times2\times2=72

또는 다음과 같다.

9\times8=72

남은 인수는 다음과 같다.

3^4

이를 실제 곱으로 쓰면 다음과 같다.

3\times3\times3\times3=81

따라서 5832는 다음 두 묶음으로 나뉜다.

전체	첫 번째 묶음	두 번째 묶음
3^6\times2^3	3^2\times2^3	3^4
5832	72	81

각 묶음을 조금 더 자세히 나타내면 다음과 같다.

묶음	분해	실제 곱	값
작은 수	3^2\times2^3	3 × 3 × 2 × 2 × 2	72
큰 수	3^4	3 × 3 × 3 × 3	81

따라서 다음과 같다.

5832=72\times81

두 수의 차이는 다음과 같다.

81-72=9

이를 한 표로 확인하면 다음과 같다.

확인할 관계	계산	결과
두 수의 곱	72 × 81	5832
두 수의 차	81 − 72	9

그러므로 다음 두 관계가 동시에 성립한다.

5832=72\times81

81-72=9

따라서 작은 수인 72가 바깥층의 개수이다.

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산목으로 확인하기

바깥층의 개수는 다음과 같다.

72

72를 산목으로 쓰면 다음과 같다.

\text{𝍦𝍪}

그보다 9 큰 수는 다음과 같다.

81

81을 산목으로 쓰면 다음과 같다.

\text{𝍧𝍩}

두 수의 곱은 다음과 같다.

72\times81=5832

두 수의 차는 다음과 같다.

81-72=9

따라서 산목으로 나타낸 두 수

\text{𝍦𝍪},\qquad\text{𝍧𝍩}

역시 각각 72와 81을 나타내며 서로 9만큼 차이가 난다.

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두 풀이의 정리

첫 번째 방법에서는 층의 수를 직접 구한다.

325-1=324

9(1+2+\cdots+n)=324

9\frac{n(n+1)}{2}=324

n(n+1)=72

(n+9)(n-8)=0

n=8

따라서 가장 바깥층의 개수는 다음과 같다.

9\times8=72

그러므로 다음과 같다.

72

두 번째 방법에서는 바깥층의 개수가 직접 들어 있는 곱을 만든다.

먼저 중심의 하나를 뺀다.

325-1=324

그 두 배를 구한다.

324\times2=648

다시 9를 곱한다.

648\times9=5832

바깥층의 개수를 (x)라고 하면 다음 관계를 얻는다.

x(x+9)=5832

5832를 3과 2로 완전히 분해한다.

5832=3^6\times2^3

한쪽 묶음은 다음과 같다.

3^2\times2^3

이를 실제 곱으로 계산하면 다음과 같다.

3\times3\times2\times2\times2=72

다른 묶음은 다음과 같다.

3^4

이를 실제 곱으로 계산하면 다음과 같다.

3\times3\times3\times3=81

따라서 다음과 같다.

5832=72\times81

그리고 두 수의 차이는 9이다.

81-72=9

그러므로 다음 관계가 성립한다.

72(72+9)=5832

따라서 바깥층의 개수는 다음과 같다.

72